Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+3x$ và $g\left( x \right)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}-x,$ với $a, b, c, m, n\in \mathbb{R}.$ Biết hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là $-1, 2$ và $3.$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{32}{3}\cdot $
B. $\dfrac{71}{9}\cdot $
C. $\dfrac{71}{6}\cdot $
D. $\dfrac{64}{9}\cdot $
A. $\dfrac{32}{3}\cdot $
B. $\dfrac{71}{9}\cdot $
C. $\dfrac{71}{6}\cdot $
D. $\dfrac{64}{9}\cdot $
Ta có : ${f}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+3$ và ${g}'\left( x \right)=3m{{x}^{2}}+2nx-1.$
Suy ra: ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=0$ có $3$ nghiệm phân biệt là $-1, 2$ và $3.$
Nên ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=4a\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \left( * \right).$
Thay $x=0$ vào hai vế của $\left( * \right)$ ta được: ${f}'\left( 0 \right)-{g}'\left( 0 \right)=4\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{6}.$
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn: $S=\int\limits_{-1}^{3}{\left| \dfrac{2}{3}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \right| \text{d}x}=\dfrac{71}{9}.$
Suy ra: ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=0$ có $3$ nghiệm phân biệt là $-1, 2$ và $3.$
Nên ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=4a\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \left( * \right).$
Thay $x=0$ vào hai vế của $\left( * \right)$ ta được: ${f}'\left( 0 \right)-{g}'\left( 0 \right)=4\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{6}.$
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn: $S=\int\limits_{-1}^{3}{\left| \dfrac{2}{3}\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \right| \text{d}x}=\dfrac{71}{9}.$
Đáp án B.