Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và hàm số $f'\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,g'\left( x \right)=q{{x}^{2}}+nx+p$ với $a,q\ne 0$ có đồ thị như hình vẽ sau:
Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right),y=g'\left( x \right)$ bằng 10 và
$f\left( 2 \right)=g\left( 2 \right).$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{17}{3}.$
B. $\dfrac{14}{3}.$
C. $5.$
D. $\dfrac{16}{3}.$
Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right),y=g'\left( x \right)$ bằng 10 và
$f\left( 2 \right)=g\left( 2 \right).$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{17}{3}.$
B. $\dfrac{14}{3}.$
C. $5.$
D. $\dfrac{16}{3}.$
Từ đồ thị và giả thiết suy ra: $f'\left( x \right)-g'\left( x \right)=ax\left( x-1 \right)\left( x-2 \right),a>0.$
Mà $\int\limits_{0}^{2}{\left| f'\left( x \right)-g'\left( x \right) \right|dx}=10\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| a \right|=10\Leftrightarrow a=10.$
Ta có: $\int{\left( f'\left( x \right)-g'\left( x \right) \right)dx}=20\int{x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)dx}\to f\left( x \right)-g\left( x \right)=5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}}+C.$
Theo giải thiết: $f\left( 2 \right)-g\left( 2 \right)=0\to C=0\to f\left( x \right)-g\left( x \right)=5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}}.$
$f\left( x \right)-g\left( x \right)=0\Leftrightarrow 5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right..$
Do đó: diện tích hình phẳng cần tính bằng $\int\limits_{0}^{2}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left| 5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}} \right|dx}=\dfrac{16}{3}.$
Mà $\int\limits_{0}^{2}{\left| f'\left( x \right)-g'\left( x \right) \right|dx}=10\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| a \right|=10\Leftrightarrow a=10.$
Ta có: $\int{\left( f'\left( x \right)-g'\left( x \right) \right)dx}=20\int{x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)dx}\to f\left( x \right)-g\left( x \right)=5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}}+C.$
Theo giải thiết: $f\left( 2 \right)-g\left( 2 \right)=0\to C=0\to f\left( x \right)-g\left( x \right)=5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}}.$
$f\left( x \right)-g\left( x \right)=0\Leftrightarrow 5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right..$
Do đó: diện tích hình phẳng cần tính bằng $\int\limits_{0}^{2}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left| 5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+20{{x}^{2}} \right|dx}=\dfrac{16}{3}.$
Đáp án D.