Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số: $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 3{{m}^{2}}+4m+5 \right)x+2021$ và $g\left( x \right)=\left( {{m}^{2}}+2m+5 \right){{x}^{3}}-\left( 2{{m}^{2}}+4m+9 \right){{x}^{2}}-3x+2$ với $m$ là tham số. Hỏi phương trình $g\left( f\left( x \right) \right)=0$ có bao nhiêu nghiệm?
A. 9.
B. 0.
C. 1.
D. 3.
A. 9.
B. 0.
C. 1.
D. 3.
Phương pháp:
Xét phương trình $g\left( x \right)=0.$
Chỉ ra hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Suy ra số nghiệm phương trình $g\left( f\left( x \right) \right)=0$
Cách giải:
Xét phương trình $g\left( x \right)=0.$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}+2m+5 \right){{x}^{3}}-\left( 2{{m}^{2}}+4m+9 \right){{x}^{2}}-3x+2=0 \\
& \Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}+2m+5 \right){{x}^{3}}-\left( 2{{m}^{2}}+4m+10 \right){{x}^{2}}+{{x}^{2}}-3x+2=0 \\
& \Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}+2m+5 \right){{x}^{2}}\left( x-2 \right)+\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left[ \left( {{m}^{2}}+2m+5 \right){{x}^{2}}+x-1 \right]=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& \left( {{m}^{2}}+2m+5 \right){{x}^{2}}+x-1=0\left( * \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Xét (*) vì $\left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+2m+5={{\left( m+1 \right)}^{2}}+4>0 \\
& ac=-\left( {{m}^{2}}+2m+5 \right)<0 \\
& \left( {{m}^{2}}+2m+5 \right){{.2}^{2}}+2-1=4{{m}^{2}}+8m+21>0 \\
\end{aligned} \right.$ nên phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu khác 2.
Hay $g\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=m\left( mn<0 \right) \\
& x=n \\
\end{aligned} \right.. $ Do đó $ g\left( f\left( x \right) \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=2\left( 1 \right) \\
& f\left( x \right)=m\left( 2 \right)\left( mn<0 \right) \\
& f\left( x \right)=n\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 3{{m}^{2}}+4m+5 \right)x+2021$ ta có: $f'\left( x \right)={{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+3{{m}^{2}}+4m+5.$
Ta có $\Delta {{'}_{f'\left( x \right)}}={{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( 3{{m}^{2}}+4m+5 \right)=-2{{m}^{2}}-2m-4<0\forall m$ nên $f'\left( x \right)>0\forall x\in \mathbb{R}.$
Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Do đó mỗi phương trình $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ có nghiệm duy nhất và các nghiệm này là khác nhau.
Vậy phương trình $g\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Xét phương trình $g\left( x \right)=0.$
Chỉ ra hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Suy ra số nghiệm phương trình $g\left( f\left( x \right) \right)=0$
Cách giải:
Xét phương trình $g\left( x \right)=0.$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}+2m+5 \right){{x}^{3}}-\left( 2{{m}^{2}}+4m+9 \right){{x}^{2}}-3x+2=0 \\
& \Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}+2m+5 \right){{x}^{3}}-\left( 2{{m}^{2}}+4m+10 \right){{x}^{2}}+{{x}^{2}}-3x+2=0 \\
& \Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}+2m+5 \right){{x}^{2}}\left( x-2 \right)+\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left[ \left( {{m}^{2}}+2m+5 \right){{x}^{2}}+x-1 \right]=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& \left( {{m}^{2}}+2m+5 \right){{x}^{2}}+x-1=0\left( * \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Xét (*) vì $\left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+2m+5={{\left( m+1 \right)}^{2}}+4>0 \\
& ac=-\left( {{m}^{2}}+2m+5 \right)<0 \\
& \left( {{m}^{2}}+2m+5 \right){{.2}^{2}}+2-1=4{{m}^{2}}+8m+21>0 \\
\end{aligned} \right.$ nên phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu khác 2.
Hay $g\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=m\left( mn<0 \right) \\
& x=n \\
\end{aligned} \right.. $ Do đó $ g\left( f\left( x \right) \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=2\left( 1 \right) \\
& f\left( x \right)=m\left( 2 \right)\left( mn<0 \right) \\
& f\left( x \right)=n\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 3{{m}^{2}}+4m+5 \right)x+2021$ ta có: $f'\left( x \right)={{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+3{{m}^{2}}+4m+5.$
Ta có $\Delta {{'}_{f'\left( x \right)}}={{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( 3{{m}^{2}}+4m+5 \right)=-2{{m}^{2}}-2m-4<0\forall m$ nên $f'\left( x \right)>0\forall x\in \mathbb{R}.$
Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Do đó mỗi phương trình $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ có nghiệm duy nhất và các nghiệm này là khác nhau.
Vậy phương trình $g\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Đáp án D.