Cho hai hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx-\dfrac{1}{2}$ và $g\left(x \right)=d{{x}^{2}}+ex+1\left( a, b, c, d, e\in \mathbb{R}...

Phương pháp:
- Xét phương trình hoành độ, dựa vào số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm xác định chính xác $f\left( x \right)-g\left( x \right).$
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right),$ đường thẳng $x=a,x=b$ là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}.$
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm $f\left( x \right)-g\left( x \right)=a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x-\dfrac{3}{2}=0$ có 3 nghiệm lần lượt là $-3;-1;1$ nên ta có
$a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x-\dfrac{3}{2}=a\left( x+3 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)$
$\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x-\dfrac{3}{2}=a\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-x-3 \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b-d=3a \\
& c-e=-a \\
& -\dfrac{3}{2}=-3a \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& b-e=\dfrac{3}{2} \\
& c-e=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. $Nên $ f\left( x \right)-g\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}$
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số có diện tích bằng
$S=\int\limits_{-3}^{-1}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx}-\int\limits_{-1}^{1}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx}$
$=\int\limits_{-3}^{-1}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2} \right)dx}-\int\limits_{-1}^{1}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2} \right)dx}$
$=2-\left( -2 \right)=4$