Google
Câu hỏi: Cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& y=t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right. \left( t\in \mathbb{R} \right), \Delta :\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-4}{1} $ và mặt phẳng $ \left( P \right):x+y-z+2=0 $. Gọi $ {d}',{\Delta }' $ lần lượt là hình chiếu của $ d,\Delta $ lên mặt phẳng $ \left( P \right) $. Gọi $ M\left( a;b;c \right) $ là giao điểm của hai đường thẳng $ {d}' $ và $ {\Delta }' $. Giá trị của tổng $ a+b.c$ bằng
A. $5$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $6$.
& x=-2 \\
& y=t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right. \left( t\in \mathbb{R} \right), \Delta :\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-4}{1} $ và mặt phẳng $ \left( P \right):x+y-z+2=0 $. Gọi $ {d}',{\Delta }' $ lần lượt là hình chiếu của $ d,\Delta $ lên mặt phẳng $ \left( P \right) $. Gọi $ M\left( a;b;c \right) $ là giao điểm của hai đường thẳng $ {d}' $ và $ {\Delta }' $. Giá trị của tổng $ a+b.c$ bằng
A. $5$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $6$.
Ta có mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ và vuông góc với $(P)$ :
$(Q):\left\{ \begin{aligned}
& \text{Qua }A\left( -2;0;2 \right) \\
& \text{VTPT}:{{{\vec{n}}}_{(Q)}}=[{{{\vec{u}}}_{d}},{{{\vec{n}}}_{(P)}}]=\left( -3;2;-1 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là: $-3\left( x+2 \right)+2\left( y-0 \right)-1\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow -3x+2y-z-4=0$.
Ta có mặt phẳng $(R)$ chứa $\Delta $ và vuông góc với $(P)$ :
$(R):\left\{ \begin{aligned}
& \text{Qua }B\left( 3;1;4 \right) \\
& \text{VTPT}:{{{\vec{n}}}_{(R)}}=[{{{\vec{u}}}_{\Delta }},{{{\vec{n}}}_{(P)}}]=\left( 0;2;2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ là: $2\left( y-1 \right)+2\left( z-4 \right)=0\Leftrightarrow y+z-5=0$.
Ta có toạ độ $M$ là nghiệm hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& -3x+2y-z-4=0 \\
& x+y-z+2=0 \\
& y+z-5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=2 \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( -1;2;3 \right)\Rightarrow a+bc=5$.
$(Q):\left\{ \begin{aligned}
& \text{Qua }A\left( -2;0;2 \right) \\
& \text{VTPT}:{{{\vec{n}}}_{(Q)}}=[{{{\vec{u}}}_{d}},{{{\vec{n}}}_{(P)}}]=\left( -3;2;-1 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là: $-3\left( x+2 \right)+2\left( y-0 \right)-1\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow -3x+2y-z-4=0$.
Ta có mặt phẳng $(R)$ chứa $\Delta $ và vuông góc với $(P)$ :
$(R):\left\{ \begin{aligned}
& \text{Qua }B\left( 3;1;4 \right) \\
& \text{VTPT}:{{{\vec{n}}}_{(R)}}=[{{{\vec{u}}}_{\Delta }},{{{\vec{n}}}_{(P)}}]=\left( 0;2;2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ là: $2\left( y-1 \right)+2\left( z-4 \right)=0\Leftrightarrow y+z-5=0$.
Ta có toạ độ $M$ là nghiệm hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& -3x+2y-z-4=0 \\
& x+y-z+2=0 \\
& y+z-5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=2 \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( -1;2;3 \right)\Rightarrow a+bc=5$.
Đáp án A.