Cho hai đường cong $(C_1):y=2^x,$...

Từ giả thiết suy ra $A(0;m)$, $D(m;0)$, $B(x_1;2^{x_1})$, $C(x_2;{\log }_2{x}_2)$ với $x_1,x_2>0$ và $m>0$.
$B,C$ lần lượt là các giao điểm của $\left(C_1\right),\left(C_2\right)$ với đường thẳng $y=-x+m$ nên ta có:
$\{\begin{array}{rl}& 2^{x_1}=-x_1+m\\ & {\log }_2{x}_2=-x_2+m\end{array}$
$\Rightarrow x_1+2^{x_1}={\log }_2{x}_2+x_2$ $\iff x_1+2^{x_1}={\log }_2{x}_2+2^{{\log }_2{x}_2}$. (1)
Do hàm số $f\left(t\right)=t+2^t$ là hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$ nên
(1) $\iff x_1={\log }_2{x}_2$ $\iff$ $x_2=2^{x_1}$ $\Rightarrow B(x_1;2^{x_1}),C(2^{x_1};x_1)$.
$AD=m\sqrt{2}$ ; $BC=\sqrt{2{(2^{x_1}-x_1)}^2}=\sqrt{2}|2^{x_1}-x_1|=\sqrt{2}(2^{x_1}-x_1)$.
Do $AD=3BC$ nên $2^{x_1}-x_1={\displaystyle \frac{m}{3}}$.
Kết hợp với: $2^{x_1}=-x_1+m$ ta có hệ $\{\begin{array}{rl}& 2^{x_1}-x_1={\displaystyle \frac{m}{3}}\\ & 2^{x_1}+x_1=m\end{array}$$\Rightarrow 2^{x_1}-2x_1=0$. (2)
Xét hàm số $g\left(t\right)=2^t-2t$ có $g^{\prime }\left(t\right)=2^t.\ln 2-2=0$ $\iff t={\log }_2\left({\displaystyle \frac{2}{\ln 2}}\right)\approx 1,528$ $$
Từ bảng biến thiên của hàm số $g(t)$ và $g\left(1\right)=g\left(2\right)=0$ suy ra PT (2) có đúng 2 nghiệm là $x_1=1$ và $x_1=2$.
Với $x_1=1$ thì $m=2^{x_1}+x_1=2^1+1=3$.
Với $x_1=2$ thì $m=2^{x_1}+x_1=2^2+2=6$.
Vậy $S=\{3;6\}$. Tổng tất cả các phần tử của $S$ là 9.