Google
Câu hỏi: Cho hai đường cong $({{C}_{1}}):y={{2}^{x}},$ $({{C}_{2}}):y={{\log }_{2}}x.$ Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho đường thẳng $y=-x+m$ cắt trục tung, $({{C}_{1}}),$ $({{C}_{2}})$ và trục hoành lần lượt tại các điểm $A,$ $B,$ $C,$ $D$ sao cho $AD=3BC$ như hình vẽ:
Tổng tất cả các phần tử của $S$ bằng
A. $4\sqrt{2}$
B. $8$.
C. $9$.
D. $3\sqrt{2}.$.
A. $4\sqrt{2}$
B. $8$.
C. $9$.
D. $3\sqrt{2}.$.
Từ giả thiết suy ra $A\left( 0;m \right)$, $D\left( m;0 \right)$, $B\left( {{x}_{1}};{{2}^{{{x}_{1}}}} \right)$, $C\left( {{x}_{2}};{{\log }_{2}}{{x}_{2}} \right)$ với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}>0$ và $m>0$.
$B,C$ lần lượt là các giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ với đường thẳng $y=-x+m$ nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{{{x}_{1}}}}=-{{x}_{1}}+m \\
& {{\log }_{2}}{{x}_{2}}=-{{x}_{2}}+m \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{x}_{1}}+{{2}^{{{x}_{1}}}}={{\log }_{2}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{2}^{{{x}_{1}}}}={{\log }_{2}}{{x}_{2}}+{{2}^{{{\log }_{2}}{{x}_{2}}}}$. (1)
Do hàm số $f\left( t \right)=t+{{2}^{t}}$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ nên
(1) $\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{\log }_{2}}{{x}_{2}}$ $\Leftrightarrow $ ${{x}_{2}}={{2}^{{{x}_{1}}}}$ $\Rightarrow B\left( {{x}_{1}};{{2}^{{{x}_{1}}}} \right),C\left( {{2}^{{{x}_{1}}}};{{x}_{1}} \right)$.
$AD=m\sqrt{2}$ ; $BC=\sqrt{2{{\left( {{2}^{{{x}_{1}}}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}=\sqrt{2}\left| {{2}^{{{x}_{1}}}}-{{x}_{1}} \right|=\sqrt{2}\left( {{2}^{{{x}_{1}}}}-{{x}_{1}} \right)$.
Do $AD=3BC$ nên ${{2}^{{{x}_{1}}}}-{{x}_{1}}=\dfrac{m}{3}$.
Kết hợp với: ${{2}^{{{x}_{1}}}}=-{{x}_{1}}+m$ ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{{{x}_{1}}}}-{{x}_{1}}=\dfrac{m}{3} \\
& {{2}^{{{x}_{1}}}}+{{x}_{1}}=m \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {{2}^{{{x}_{1}}}}-2{{x}_{1}}=0$. (2)
Xét hàm số $g\left( t \right)={{2}^{t}}-2t$ có ${g}'\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2-2=0$ $\Leftrightarrow t={{\log }_{2}}\left( \dfrac{2}{\ln 2} \right)\approx 1,528$ $$
Từ bảng biến thiên của hàm số $g(t)$ và $g\left( 1 \right)=g\left( 2 \right)=0$ suy ra PT (2) có đúng 2 nghiệm là ${{x}_{1}}=1$ và ${{x}_{1}}=2$.
Với ${{x}_{1}}=1$ thì $m={{2}^{{{x}_{1}}}}+{{x}_{1}}={{2}^{1}}+1=3$.
Với ${{x}_{1}}=2$ thì $m={{2}^{{{x}_{1}}}}+{{x}_{1}}={{2}^{2}}+2=6$.
Vậy $S=\left\{ 3;6 \right\}$. Tổng tất cả các phần tử của $S$ là 9.
$B,C$ lần lượt là các giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ với đường thẳng $y=-x+m$ nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{{{x}_{1}}}}=-{{x}_{1}}+m \\
& {{\log }_{2}}{{x}_{2}}=-{{x}_{2}}+m \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{x}_{1}}+{{2}^{{{x}_{1}}}}={{\log }_{2}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{2}^{{{x}_{1}}}}={{\log }_{2}}{{x}_{2}}+{{2}^{{{\log }_{2}}{{x}_{2}}}}$. (1)
Do hàm số $f\left( t \right)=t+{{2}^{t}}$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ nên
(1) $\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{\log }_{2}}{{x}_{2}}$ $\Leftrightarrow $ ${{x}_{2}}={{2}^{{{x}_{1}}}}$ $\Rightarrow B\left( {{x}_{1}};{{2}^{{{x}_{1}}}} \right),C\left( {{2}^{{{x}_{1}}}};{{x}_{1}} \right)$.
$AD=m\sqrt{2}$ ; $BC=\sqrt{2{{\left( {{2}^{{{x}_{1}}}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}=\sqrt{2}\left| {{2}^{{{x}_{1}}}}-{{x}_{1}} \right|=\sqrt{2}\left( {{2}^{{{x}_{1}}}}-{{x}_{1}} \right)$.
Do $AD=3BC$ nên ${{2}^{{{x}_{1}}}}-{{x}_{1}}=\dfrac{m}{3}$.
Kết hợp với: ${{2}^{{{x}_{1}}}}=-{{x}_{1}}+m$ ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{{{x}_{1}}}}-{{x}_{1}}=\dfrac{m}{3} \\
& {{2}^{{{x}_{1}}}}+{{x}_{1}}=m \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {{2}^{{{x}_{1}}}}-2{{x}_{1}}=0$. (2)
Xét hàm số $g\left( t \right)={{2}^{t}}-2t$ có ${g}'\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2-2=0$ $\Leftrightarrow t={{\log }_{2}}\left( \dfrac{2}{\ln 2} \right)\approx 1,528$ $$
Với ${{x}_{1}}=1$ thì $m={{2}^{{{x}_{1}}}}+{{x}_{1}}={{2}^{1}}+1=3$.
Với ${{x}_{1}}=2$ thì $m={{2}^{{{x}_{1}}}}+{{x}_{1}}={{2}^{2}}+2=6$.
Vậy $S=\left\{ 3;6 \right\}$. Tổng tất cả các phần tử của $S$ là 9.
Đáp án C.