Google
Câu hỏi: Cho hai điện tích điểm ${{q}_{1}}={{q}_{2}}$ C đặt tại hai điểm cố định A, B cách nhau một khoảng 2a m trong không khí. Trên đường trung trực của AB tại vị trí mà cường độ điện trường có cường độ cực đại. Giá trị cực đại đó là
A. ${{E}_{{{M}_{\max }}}}=\dfrac{4kq}{3{{a}^{2}}}$
B. ${{E}_{{{M}_{\max }}}}=\dfrac{4kq}{\sqrt{3}{{a}^{2}}}$
C. ${{E}_{{{M}_{\max }}}}=\dfrac{kq}{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}$
D. ${{E}_{{{M}_{\max }}}}=\dfrac{4kq}{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}$
Cường độ điện trường tại điểm M là $\overrightarrow{{{E}_{M}}}=\overrightarrow{{{E}_{1}}}+\overrightarrow{{{E}_{2}}}$
Trong dó $\overrightarrow{{{E}_{1}}},\overrightarrow{{{E}_{2}}}$ là cường độ điện trường do ${{q}_{1}}$ và ${{q}_{2}}$ gây ra tại M.
${{E}_{1}}={{E}_{2}}=k\dfrac{\left| {{q}_{1}} \right|}{{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}$
Cường độ điện trường tổng hợp tại M
${{E}_{M}}=2{{\text{E}}_{1}}\cos \alpha =\dfrac{2k\left| q \right|h}{{{(a+h)}^{1,5}}}V\text{/m}$.
Xác định h để ${{E}_{M}}$ cực đại
Ta có: ${{a}^{2}}+{{h}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2}+{{h}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{{{a}^{4}}{{h}^{2}}}{4}}\Rightarrow {{\left( {{a}^{2}}+{{h}^{2}} \right)}^{3}}\ge \dfrac{27}{4}{{a}^{4}}{{h}^{2}}\Rightarrow {{\left( {{a}^{2}}+{{h}^{2}} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}h$
Vậy ${{E}_{M}}\le \dfrac{2kqh}{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}h}=\dfrac{4kq}{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}$
$\to {{E}_{M}}$ cực đại khi $h=\dfrac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow {{E}_{{{M}_{\max }}}}=\dfrac{4kq}{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}$.
A. ${{E}_{{{M}_{\max }}}}=\dfrac{4kq}{3{{a}^{2}}}$
B. ${{E}_{{{M}_{\max }}}}=\dfrac{4kq}{\sqrt{3}{{a}^{2}}}$
C. ${{E}_{{{M}_{\max }}}}=\dfrac{kq}{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}$
D. ${{E}_{{{M}_{\max }}}}=\dfrac{4kq}{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}$
Cường độ điện trường tại điểm M là $\overrightarrow{{{E}_{M}}}=\overrightarrow{{{E}_{1}}}+\overrightarrow{{{E}_{2}}}$
Trong dó $\overrightarrow{{{E}_{1}}},\overrightarrow{{{E}_{2}}}$ là cường độ điện trường do ${{q}_{1}}$ và ${{q}_{2}}$ gây ra tại M.
${{E}_{1}}={{E}_{2}}=k\dfrac{\left| {{q}_{1}} \right|}{{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}$
Cường độ điện trường tổng hợp tại M
${{E}_{M}}=2{{\text{E}}_{1}}\cos \alpha =\dfrac{2k\left| q \right|h}{{{(a+h)}^{1,5}}}V\text{/m}$.
Xác định h để ${{E}_{M}}$ cực đại
Ta có: ${{a}^{2}}+{{h}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2}+{{h}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{{{a}^{4}}{{h}^{2}}}{4}}\Rightarrow {{\left( {{a}^{2}}+{{h}^{2}} \right)}^{3}}\ge \dfrac{27}{4}{{a}^{4}}{{h}^{2}}\Rightarrow {{\left( {{a}^{2}}+{{h}^{2}} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}h$
Vậy ${{E}_{M}}\le \dfrac{2kqh}{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}h}=\dfrac{4kq}{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}$
$\to {{E}_{M}}$ cực đại khi $h=\dfrac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow {{E}_{{{M}_{\max }}}}=\dfrac{4kq}{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}$.
Đáp án D.