Cho hai điểm $A\left( 2;1;-1 \right);B\left( 0;3;1 \right)$. Biết...

Phương pháp:
- Gọi M( x; y; z) . Tính $M{{A}^{2}},M{{B}^{2}}$, sử dụng công thức:
$M{{A}^{2}}={{\left( {{x}_{M}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{M}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{M}}-{{z}_{A}} \right)}^{2}}$
- Suy ra tập hợp biểu diễn đường Mlà một mặt cầu, xác định rõ tâm Ivà bán kính R.
- Tính $d=d\left( I;\left( \alpha \right) \right)$, sử dụng công thức $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right),\left( \alpha \right):Ax+By+Cz+D=0$, khi đó
$d(I;(\alpha ))=\dfrac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$
- Giao tuyến giữa ( )α và mặt cầu ( ;I R) là đường tròn có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}$
Cách giải:
Gọi M( x; y;z ) ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
M{{A}^{2}}={{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}} \\
M{{B}^{2}}={{x}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}} \\
\end{array} \right.$
$\begin{array}{*{35}{l}}
2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=4 \\
\Leftrightarrow 2\left[ {{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}} \right]-\left[ {{x}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}} \right]=4 \\
\end{array}$
$\begin{array}{*{35}{l}}
\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-8x+8+2{{y}^{2}}-4y+2+2{{z}^{2}}+4z+2-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+6y-9-{{z}^{2}}+2z-1=4 \\
\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+6z-2=0 \\
\end{array}$
⇒ Tập hợp các điểm Mthỏa mãn $2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=4$ là mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( 4;-1;-3 \right)$, bán kính
$R=\sqrt{{{4}^{2}}+{{1}^{2}}+{{3}^{2}}+2}=2\sqrt{7}$
Mà $M\in \left( \alpha \right)\Rightarrow M=\left( \alpha \right)\cap \left( S \right)\Rightarrow $ Tập hợp các điểm Mlà đường tròn giao tuyến $\left( C \right)$ giữa mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$
Ta có: $d(I;(\alpha ))=\dfrac{|4-1-3+3|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{3}=d$
Vậy bán kính của đường tròn $\left( C \right)$ là: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=\sqrt{{{(2\sqrt{7})}^{2}}-{{(\sqrt{3})}^{2}}}=5$