Cho hai cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right):4;7,10,13,16...$ và...

$\left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{m}}=1+3n \\
& {{v}_{k}}=1+5\left( k-1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do đó: ${{u}_{n}}={{v}_{k}}\Leftrightarrow 1+3n=1+5\left( k-1 \right)\Leftrightarrow 3n=5\left( k-1 \right)\left( * \right).~$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& n,k\in R \\
& \left( 3,5=1 \right) \\
\end{aligned} \right. $ nên từ (*) $ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& n\vdots 5 \\
& k-1\vdots 3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& n=5m \\
& k-1=3l \\
\end{aligned} \right.\left( m\in {{R}^{*}},l\in R \right)$
Khi đó (*) trở thành: $3.5m=5.3l\Leftrightarrow m=l.~$
Vì ta chỉ xét 100 số hạng đầu của mỗi cấp số cộng nên $\left\{ \begin{aligned}
& 1\le n\le 100 \\
& 1\le k\le 100 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1\le m\le 20 \\
& 0\le l\le 33 \\
\end{aligned} \right.$
mà m=l1m=l20 Số giá trị m=l thỏa mãn là 20
Số giá trị n,k tương ứng là 20.
Vậy trong 100 số hạng đầu của mỗi cấp số cộng có 20 số hạng chung.