Google
Câu hỏi: Cho giới hạn $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt[3]{{{e}^{x}}-1}}{\sqrt{x+1}-1}=\dfrac{a}{b}$ với a,b nguyên tố cùng nhau . Tính giá trị của 2a+b.
A. 8
B. 7
C. 5
D. 6
A. 8
B. 7
C. 5
D. 6
Ta có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt[3]{{{e}^{x}}-1}}{\sqrt{x+1}-1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{\left( {{e}^{\dfrac{x}{3}}}-1 \right)\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}{x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \left[ \dfrac{\left( {{e}^{\dfrac{x}{3}}}-1 \right)}{\dfrac{x}{3}}.\dfrac{\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}{3} \right]=1.\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{a}{b}$
Nên $2a+b=7.~$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \left[ \dfrac{\left( {{e}^{\dfrac{x}{3}}}-1 \right)}{\dfrac{x}{3}}.\dfrac{\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}{3} \right]=1.\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{a}{b}$
Nên $2a+b=7.~$
Đáp án B.