Cho $f(x)$ là hàm số bậc ba thỏa mãn $f(0)=2$ và $f'(1)=0$. Hàm số ${f}'(x)$ có bảng biến thiên như sau: Hàm số $g(x)=\left|...

Giả sử $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$
Ta có $f'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra đồ thị hàm số $f'\left( x \right)$ đối xứng nhau qua trục tung nên là hàm chẵn suy ra $b=0.$
Khi đó $f'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+c.$
Mặt khác cũng từ bảng biến thiến và giả thiết, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( 0 \right)=-3 \\
& f'\left( 1 \right)=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=-3 \\
& 3a+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& c=-3 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+C.$
Mà $f\left( 0 \right)=2\Leftrightarrow C=2$.
Vậy $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+2.$
Xét hàm số $h\left( x \right)={{f}^{3}}\left( \left| x \right| \right)-3{{f}^{2}}\left( \left| x \right| \right)-2021,$ ta thấy $h\left( x \right)$ là một hàm chẵn nên nhận trục tung là trục đối xứng, vì vậy số điểm cực trị của $h\left( x \right)$ chính bằng hai lần số cực trị dương của hàm số $p\left( x \right)={{f}^{3}}\left( x \right)-3{{f}^{2}}\left( x \right)-2021$ công thêm 1.
Xét hàm số $p\left( x \right)={{f}^{3}}\left( x \right)-3{{f}^{2}}\left( x \right)-2021$ trên $\left( 0;+\infty \right)$ ta có $p'\left( x \right)=3f'\left( x \right){{f}^{2}}\left( x \right)-6f'\left( x \right)f\left( x \right).$
$p'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}-3=0 \\
& {{x}^{3}}-3x+2=0 \\
& {{x}^{3}}-3x+2=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=0 \\
& x=\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right. $ (do $ x>0$).
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta suy ra số điểm cực trị của hàm số $h\left( x \right)$ là $2.2+1=5.$
Mặt khác, đồ thị của hàm số $g\left( x \right)$ đối xứng qua $Ox,$ do đó số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)$ bằng số điểm cực trị của hàm số $h\left( x \right)$ cộng với số nghiệm bội lẻ của phương trình $h\left( x \right)=0.$
Dựa vào bảng biến thiên ta có thấy $h\left( x \right)=0$ có ha nghiệm bội đơn.
Vậy hàm số $g\left( x \right)$ có tất cả $5+2=7$ điểm cực trị.