Google
Câu hỏi: Cho $f(n)=\left(n^2+n+1\right)^2+1 \forall n \in N^*$. Đặt $u_n=\dfrac{f(1) \cdot f(3) \ldots f(2 n-1)}{f(2) \cdot f(4) \ldots f(2 n)}$.
Tìm số $n$ nguyên dương nhỏ nhất sao cho $u_n$ thỏa mãn điều kiện $\log _2 u_n+u_n<\dfrac{-10239}{1024}$.
A. $n=23$.
B. $n=29$.
C. $n=21$.
D. $n=33$.
Tìm số $n$ nguyên dương nhỏ nhất sao cho $u_n$ thỏa mãn điều kiện $\log _2 u_n+u_n<\dfrac{-10239}{1024}$.
A. $n=23$.
B. $n=29$.
C. $n=21$.
D. $n=33$.
Ta có $f(n)=\left(n^2+n+1\right)^2+1=\left(n^2+1\right)\left[(n+1)^2+1\right]$.
Khi đó ta có $u_n=\dfrac{\left(1^2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(3^2+1\right)\left(4^2+1\right) \ldots\left[(2 n-1)^2+1\right]\left[4 n^2+1\right]}{\left(2^2+1\right)\left(3^2+1\right)\left(4^2+1\right)\left(5^2+1\right) \ldots\left[4 n^2+1\right]\left[(2 n+1)^2+1\right]}=\dfrac{2}{(2 n+1)^2+1}=\dfrac{1}{2 n^2+2 n+1}$.
Theo đề bài ta có $\log _2 u_n+u_n<\dfrac{-10239}{1024} \Leftrightarrow-\log _2\left(2 n^2+2 n+1\right)+\dfrac{1}{2 n^2+2 n+1}+\dfrac{10239}{1024}<0$.
Xét hàm số $g(n)=-\log _2\left(2 n^2+2 n+1\right)+\dfrac{1}{2 n^2+2 n+1}+\dfrac{10239}{1024}$ với $n \geq 1$.
Ta có $g^{\prime}(n)=-\dfrac{4 n+2}{\left(2 n^2+2 n+1\right) \ln 2}-\dfrac{4 n+2}{\left(2 n^2+2 n+1\right)^2}<0$ với $n \geq 1 \Rightarrow g(n)$ nghịch biến.
Mà $g\left(\dfrac{-1+\sqrt{2047}}{2}\right)=0$ nên $-\log _2\left(2 n^2+2 n+1\right)+\dfrac{1}{2 n^2+2 n+1}+\dfrac{10239}{1024}<0$
$\Leftrightarrow n>\dfrac{-1+\sqrt{2047}}{2}$. Do $n$ nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn nên $n=23$
Khi đó ta có $u_n=\dfrac{\left(1^2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(3^2+1\right)\left(4^2+1\right) \ldots\left[(2 n-1)^2+1\right]\left[4 n^2+1\right]}{\left(2^2+1\right)\left(3^2+1\right)\left(4^2+1\right)\left(5^2+1\right) \ldots\left[4 n^2+1\right]\left[(2 n+1)^2+1\right]}=\dfrac{2}{(2 n+1)^2+1}=\dfrac{1}{2 n^2+2 n+1}$.
Theo đề bài ta có $\log _2 u_n+u_n<\dfrac{-10239}{1024} \Leftrightarrow-\log _2\left(2 n^2+2 n+1\right)+\dfrac{1}{2 n^2+2 n+1}+\dfrac{10239}{1024}<0$.
Xét hàm số $g(n)=-\log _2\left(2 n^2+2 n+1\right)+\dfrac{1}{2 n^2+2 n+1}+\dfrac{10239}{1024}$ với $n \geq 1$.
Ta có $g^{\prime}(n)=-\dfrac{4 n+2}{\left(2 n^2+2 n+1\right) \ln 2}-\dfrac{4 n+2}{\left(2 n^2+2 n+1\right)^2}<0$ với $n \geq 1 \Rightarrow g(n)$ nghịch biến.
Mà $g\left(\dfrac{-1+\sqrt{2047}}{2}\right)=0$ nên $-\log _2\left(2 n^2+2 n+1\right)+\dfrac{1}{2 n^2+2 n+1}+\dfrac{10239}{1024}<0$
$\Leftrightarrow n>\dfrac{-1+\sqrt{2047}}{2}$. Do $n$ nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn nên $n=23$
Đáp án A.
