Cho $F\left( x \right)={{x}^{\pi }}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right).{{\pi }^{x}}.$ Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f'\left( x...

Phương pháp:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{\pi }^{x}} \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right..$
Cách giải:
Đặt $I=\int{f'\left( x \right){{\pi }^{x}}dx.}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{\pi }^{x}} \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du={{\pi }^{x}}\ln \pi \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow I={{\pi }^{x}}f\left( x \right)-\ln \pi \int{{{\pi }^{x}}f\left( x \right)dx.}$
Vì $F\left( x \right)={{\pi }^{x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){{\pi }^{x}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& F'\left( x \right)=f\left( x \right){{\pi }^{x}} \\
& \int{f\left( x \right){{\pi }^{x}}dx}=F\left( x \right)+C={{x}^{\pi }}+C. \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \pi .{{x}^{\pi -1}}=f\left( x \right).{{\pi }^{x}}\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{\pi .{{x}^{\pi -1}}}{{{\pi }^{x}}}$
$\Rightarrow I={{\pi }^{x}}\dfrac{\pi {{x}^{\pi -1}}}{{{\pi }^{x}}}-{{x}^{\pi }}\ln \pi +C$
$\Rightarrow I=\pi .{{x}^{\pi -1}}-{{x}^{\pi }}\ln \pi +C$