Cho $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $2021. F\left(f\left( x \right)...

Đặt $y=f\left( f\left( x \right) \right)={{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}-3{{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+1.$
Ta có: $y'=9x\left( x-2 \right)\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-1 \right).$
$y'=0\Leftrightarrow 9x\left( x-2 \right)\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1=0 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\simeq -0,53 \\
& x=0 \\
& x\simeq 0,65 \\
& x=2 \\
& x\simeq 2,88 \\
& x\simeq 3,1 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên của $y=f\left( f\left( x \right) \right)={{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}-3{{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+1.$

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình $2021.f\left( f\left( x \right) \right)=m\Leftrightarrow f\left( f\left( x \right) \right)=\dfrac{m}{2021}$ có 7 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $-1<\dfrac{m}{2021}<1\Leftrightarrow -2021<m<2021.$
Do $m$ nguyên nên suy ra có 4041 giá trị của $m.$