Google
Câu hỏi: Cho $F\left( x \right)={{x}^{2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right).{{e}^{x}}.$ Khi đó $\int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right).{{e}^{x}}dx}$ bằng
A. $-{{x}^{2}}+2x+C$
B. $-2{{x}^{2}}+2x+C$
C. $-{{x}^{2}}+x+C$
D. $2{{x}^{2}}-2x+C$
A. $-{{x}^{2}}+2x+C$
B. $-2{{x}^{2}}+2x+C$
C. $-{{x}^{2}}+x+C$
D. $2{{x}^{2}}-2x+C$
Phương pháp:
- Vì $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){{e}^{x}}$ nên $F'\left( x \right)=f\left( x \right){{e}^{x}},$ từ đó tìm hàm số $f\left( x \right).$
- Tính $f'\left( x \right)$ và tính nguyên hàm $\int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right){{e}^{x}}dx.}$
Cách giải:
Vì $F\left( x \right)={{x}^{2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){{e}^{x}}$ nên $F'\left( x \right)=2x=f\left( x \right){{e}^{x}}.$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{2x}{{{e}^{x}}}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{2{{e}^{x}}-2x{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}}=\dfrac{2-2x}{{{e}^{x}}}.$
$\Rightarrow f'\left( x \right){{e}^{x}}=2-2x$
Vậy $\int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right).{{e}^{x}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( 2-2x \right)dx}=2x-{{x}^{2}}+C.$
- Vì $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){{e}^{x}}$ nên $F'\left( x \right)=f\left( x \right){{e}^{x}},$ từ đó tìm hàm số $f\left( x \right).$
- Tính $f'\left( x \right)$ và tính nguyên hàm $\int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right){{e}^{x}}dx.}$
Cách giải:
Vì $F\left( x \right)={{x}^{2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){{e}^{x}}$ nên $F'\left( x \right)=2x=f\left( x \right){{e}^{x}}.$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{2x}{{{e}^{x}}}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{2{{e}^{x}}-2x{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}}=\dfrac{2-2x}{{{e}^{x}}}.$
$\Rightarrow f'\left( x \right){{e}^{x}}=2-2x$
Vậy $\int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right).{{e}^{x}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( 2-2x \right)dx}=2x-{{x}^{2}}+C.$
Đáp án A.