Cho $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f\left( 2 \right)=1,\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)dx}=2.$ Tích phân...

Phương pháp:
Sử dụng tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số.
Cách giải:
Ta có $A=\int\limits_{0}^{2}{xf'\left( x \right)dx}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& x=u \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& dx=du \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $A=x.f\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=2f\left( 2 \right)-\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}.$
Xét $B=\int\limits_{0}^{2}{f\left( 2x \right)dx}.$ Đặt $t=2x\Rightarrow dt=2dx.$ Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=0 \\
& x=1\Rightarrow t=2 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó ta có $B=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=2\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=4.$
Vậy $A=2.1-4=-2.$