Cho $f\left( x \right)$ là hàm số liên tục trên tập số thực $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( {{x}^{3}}+3x+1 \right)=x+2.$ Tính...

Đặt $x={{t}^{3}}+3t+1\Rightarrow dx=\left( 3{{t}^{2}}+3 \right)dt.$

Vậy ta có $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( {{t}^{3}}+3t+1 \right)\left( 3{{t}^{2}}+3 \right)dt}=\int\limits_{0}^{1}{\left( t+2 \right)\left( 3{{t}^{2}}+3 \right)dt}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 3{{t}^{3}}+6{{t}^{2}}+3t+6 \right)dt}=\dfrac{41}{4}.$