Cho $f\left(x \right)$ là hàm số liên tục trên tập số thực $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left({{x}^{2}}+3x+1 \right)=x+2.$ Tính...

Phương pháp:
- Nhân cả hai vế của phương trình $f\left({{x}^{2}}+3x+1 \right)=x+2$ với $2x+3.$
- Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế phương trình.
- Sử dụng phương pháp đổi biến số.
Cách giải:
Theo bài ra ta có
$f\left({{x}^{2}}+3x+1 \right)=x+2$
$\Rightarrow f\left({{x}^{2}}+3x+1 \right)\left(2x+3 \right)=\left(x+2 \right)\left(2x+3 \right)$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left({{x}^{2}}+3x+1 \right)\left(2x+3 \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left(x+2 \right)\left(2x+3 \right)dx}$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left({{x}^{2}}+3x+1 \right)\left(2x+3 \right)dx}=\dfrac{61}{6}$
Đặt $t={{x}^{2}}+3x=1\Rightarrow dt=\left(2x+3 \right)dx.$
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=1 \\
& x=1\Rightarrow t=5 \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left({{x}^{2}}+3x+1 \right)\left(2x+3 \right)dx}=\int\limits_{1}^{5}{f\left(t \right)dt}=\int\limits_{1}^{5}{f\left(x \right)dx}.$
Vậy $\int\limits_{1}^{5}{f\left(x \right)dx}=\dfrac{61}{6}.$