Cho $f\left( x \right)$ là hàm đa thức bậc ba có đồ thị như hình...

Đặt . Vì nên .
Khi đó phương trình trở thành (1).
Giả sử hàm số dạng .
Từ hình vẽ ta thấy hàm số đã cho đạt cực trị tại và đồ thị đi qua các điểm , nên ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 1 \right)=0 \\
& {f}'\left( -1 \right)=0 \\
& f\left( 0 \right)=1 \\
& f\left( 1 \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3a+2b+c\quad =0 \\
& 3a-2b+c\quad =0 \\
& \quad \quad \quad \quad \ d=1 \\
& a+b+c+d=-1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=0 \\
& c=-3 \\
& d=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra . Do đó phương trình (1) được viết lại như sau
(2).
Đặt có ; .
Bảng biến thiên

Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm .
Vì là số nguyên nên .