Cho $f\left( x \right)$ là hàm đa thức bậc ba có đồ thị như hình...

Đặt $t=\dfrac{2x-{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1}=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1}-1$. Vì ${{x}^{2}}+1\ge 2\left| x \right|\Leftrightarrow \dfrac{2\left| x \right|}{{{x}^{2}}+1}\le 1$ nên $-2\le t\le 0$.
Khi đó phương trình $f\left( \dfrac{2x-{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1} \right)=\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}+m$ trở thành $f\left( t \right)=\dfrac{t+1}{2}+m$ (1).
Giả sử hàm số $f\left( x \right)$ dạng $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$.
Từ hình vẽ ta thấy hàm số đã cho đạt cực trị tại $x=\pm 1$ và đồ thị đi qua các điểm $\left( 0;1 \right)$, $\left( 1;-1 \right)$ nên ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 1 \right)=0 \\
& {f}'\left( -1 \right)=0 \\
& f\left( 0 \right)=1 \\
& f\left( 1 \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3a+2b+c\quad =0 \\
& 3a-2b+c\quad =0 \\
& \quad \quad \quad \quad \ d=1 \\
& a+b+c+d=-1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=0 \\
& c=-3 \\
& d=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+1$. Do đó phương trình (1) được viết lại như sau
${{t}^{3}}-3t+1=\dfrac{t+1}{2}+m$ $\Leftrightarrow 2{{t}^{3}}-7t+1=2m$ (2).
Đặt $g\left( t \right)=2{{t}^{3}}-7t+1$ có ${g}'\left( t \right)=6{{t}^{2}}-7$ ; ${g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\pm \sqrt{\dfrac{7}{6}}$.
Bảng biến thiên

Vậy (1) có nghiệm $x$ khi và chỉ khi (2) có nghiệm $t\in \left[ -2;0 \right]$ $\Leftrightarrow -1\le 2m\le \dfrac{14}{3}\sqrt{\dfrac{7}{6}}+1\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\le m\le \dfrac{7}{3}\sqrt{\dfrac{7}{6}}+\dfrac{1}{2}\approx 3,02$.
Vì $m$ là số nguyên nên $m\in \left\{ 0;1;2;3 \right\}$.