Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right), g\left( x \right)$ lần lượt là các hàm đa thức bậc ba và bậc nhất có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Biết diện tích hình $S$ (được tô đậm) bằng $\dfrac{250}{81}$. Tính $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}$.
A. $\dfrac{34}{15}$.
B. $\dfrac{31}{15}$.
C. $\dfrac{314}{125}.$
D. $\dfrac{11}{15}.$
A. $\dfrac{34}{15}$.
B. $\dfrac{31}{15}$.
C. $\dfrac{314}{125}.$
D. $\dfrac{11}{15}.$
Ta có $g(x)$ là hàm số bậc nhất đi qua $A\left(\dfrac{4}{3} ; 1\right)$ và $B(3 ; 2)$ nên $g(x)=\dfrac{3}{5} x+\dfrac{1}{5}$.
Với $y=-1 \Rightarrow \dfrac{3}{5} x+\dfrac{1}{5}=-1 \Leftrightarrow x=-2 \Rightarrow C(-2 ;-1)$ là giao điểm của $f(x)$ và $g(x)$.
Do đó $f(x)-g(x)=a(x+2)\left(x-\dfrac{4}{3}\right)(x-3)$.
Lại có: $S=\int_{-2}^{\dfrac{4}{3}}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x \Leftrightarrow \dfrac{250}{81}=\int_{-2}^{\dfrac{4}{3}}\left[a(x+2)\left(x-\dfrac{4}{3}\right)(x-3)\right] \mathrm{d} x \Leftrightarrow a=\dfrac{3}{20}$.
Suy ra $f(x)-g(x)=\dfrac{3}{20}(x+2)\left(x-\dfrac{4}{3}\right)(x-3) \Leftrightarrow f(x)=\dfrac{3}{20}(x+2)\left(x-\dfrac{4}{3}\right)(x-3)+\dfrac{3}{5} x+\dfrac{1}{5}$.
Vậy $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2}\left[\dfrac{3}{20}(x+2)\left(x-\dfrac{4}{3}\right)(x-3)+\dfrac{3}{5} x+\dfrac{1}{5}\right] \mathrm{d} x=\dfrac{34}{15}$.
Với $y=-1 \Rightarrow \dfrac{3}{5} x+\dfrac{1}{5}=-1 \Leftrightarrow x=-2 \Rightarrow C(-2 ;-1)$ là giao điểm của $f(x)$ và $g(x)$.
Do đó $f(x)-g(x)=a(x+2)\left(x-\dfrac{4}{3}\right)(x-3)$.
Lại có: $S=\int_{-2}^{\dfrac{4}{3}}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x \Leftrightarrow \dfrac{250}{81}=\int_{-2}^{\dfrac{4}{3}}\left[a(x+2)\left(x-\dfrac{4}{3}\right)(x-3)\right] \mathrm{d} x \Leftrightarrow a=\dfrac{3}{20}$.
Suy ra $f(x)-g(x)=\dfrac{3}{20}(x+2)\left(x-\dfrac{4}{3}\right)(x-3) \Leftrightarrow f(x)=\dfrac{3}{20}(x+2)\left(x-\dfrac{4}{3}\right)(x-3)+\dfrac{3}{5} x+\dfrac{1}{5}$.
Vậy $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2}\left[\dfrac{3}{20}(x+2)\left(x-\dfrac{4}{3}\right)(x-3)+\dfrac{3}{5} x+\dfrac{1}{5}\right] \mathrm{d} x=\dfrac{34}{15}$.
Đáp án A.