Cho $F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}$ là một nguyên hàm của $\dfrac{f\left( x \right)}{x}.$ Biết $f\left( x \right)$ có đạo hàm xác định...

Phương pháp:
Sử dụng $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{f\left( x \right)}{x}$ thì $\dfrac{f\left( x \right)}{x}=F'\left( x \right),$ suy ra hàm số $f\left( x \right).$
- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.
Cách giải:
Ta có $F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}$ là một nguyên hàm của $\dfrac{f\left( x \right)}{x}\Rightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{x}=F'\left( x \right)={{x}^{2}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}.$
$\Rightarrow f'\left( x \right).{{e}^{x}}=3{{x}^{2}}.{{e}^{2}}\Rightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right).{{e}^{x}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{3{{x}^{2}}.{{e}^{x}}dx}.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=3{{x}^{2}} \\
& dv={{e}^{x}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=6xdx \\
& v={{e}^{x}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right).{{e}^{x}}dx}=3{{x}^{2}}{{e}^{x}}-\int\limits_{{}}^{{}}{6x.{{e}^{x}}dx}.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=6x \\
& dv={{e}^{x}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=6dx \\
& v={{e}^{x}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{6x.{{e}^{x}}dx}=6x{{e}^{x}}-\int\limits_{{}}^{{}}{6{{e}^{x}}dx}=6x{{e}^{x}}-6{{e}^{x}}+C$
Vậy $\int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right).{{e}^{x}}dx}=3{{x}^{2}}.{{e}^{x}}-6x{{e}^{x}}+6{{e}^{x}}+C.$