Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng $y=x$ và Parabol $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a$ ( $a$ là tham số thực dương). Gọi ${{S}_{1}}$ và ${{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ thì $a$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( \dfrac{3}{7};\dfrac{1}{2} \right)$.
B. $\left( 0;\dfrac{1}{3} \right)$.
C. $\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{5} \right)$.
D. $\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{3}{7} \right)$
A. $\left( \dfrac{3}{7};\dfrac{1}{2} \right)$.
B. $\left( 0;\dfrac{1}{3} \right)$.
C. $\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{5} \right)$.
D. $\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{3}{7} \right)$
Xét phương trình tương giao: $\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a=x$ $\Rightarrow {{x}^{2}}-2x+2a=0$ $\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=1-\sqrt{1-2a} \\
& {{x}_{1}}=1+\sqrt{1-2a} \\
\end{aligned} \right. $, $ \left( a<\dfrac{1}{2} \right)$.
Đặt $t=\sqrt{1-2a},\left( t\ge 0 \right)$ $\Rightarrow a=\dfrac{1-{{t}^{2}}}{2}$. Xét $g\left( x \right)={{x}^{2}}-x+a$ và $\int{g\left( x \right)}dx=G\left( x \right)+C$.
Theo giả thiết ta có ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{g\left( x \right)}dx=G\left( {{x}_{1}} \right)-G\left( 0 \right)$.
${{S}_{2}}=-\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{g\left( x \right)}dx=G\left( {{x}_{1}} \right)-G\left( {{x}_{2}} \right)$. Do ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ $\Rightarrow G\left( {{x}_{2}} \right)=G\left( 0 \right)$ $\Rightarrow \dfrac{1}{6}x_{2}^{3}-\dfrac{1}{2}x_{2}^{2}+ax_{2}^{{}}=0$
$\Rightarrow x_{2}^{2}-3{{x}_{2}}+6a=0$ $\Rightarrow {{\left( 1+t \right)}^{2}}-3\left( 1+t \right)+6\left( \dfrac{1-{{t}^{2}}}{2} \right)=0$
$\Rightarrow -2{{t}^{2}}-t+1=0$ $\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$ và $t=-1$ (loại). Khi $t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow a=\dfrac{3}{8}$.
& {{x}_{1}}=1-\sqrt{1-2a} \\
& {{x}_{1}}=1+\sqrt{1-2a} \\
\end{aligned} \right. $, $ \left( a<\dfrac{1}{2} \right)$.
Đặt $t=\sqrt{1-2a},\left( t\ge 0 \right)$ $\Rightarrow a=\dfrac{1-{{t}^{2}}}{2}$. Xét $g\left( x \right)={{x}^{2}}-x+a$ và $\int{g\left( x \right)}dx=G\left( x \right)+C$.
Theo giả thiết ta có ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{g\left( x \right)}dx=G\left( {{x}_{1}} \right)-G\left( 0 \right)$.
${{S}_{2}}=-\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{g\left( x \right)}dx=G\left( {{x}_{1}} \right)-G\left( {{x}_{2}} \right)$. Do ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ $\Rightarrow G\left( {{x}_{2}} \right)=G\left( 0 \right)$ $\Rightarrow \dfrac{1}{6}x_{2}^{3}-\dfrac{1}{2}x_{2}^{2}+ax_{2}^{{}}=0$
$\Rightarrow x_{2}^{2}-3{{x}_{2}}+6a=0$ $\Rightarrow {{\left( 1+t \right)}^{2}}-3\left( 1+t \right)+6\left( \dfrac{1-{{t}^{2}}}{2} \right)=0$
$\Rightarrow -2{{t}^{2}}-t+1=0$ $\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$ và $t=-1$ (loại). Khi $t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow a=\dfrac{3}{8}$.
Đáp án C.