Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng $d: y=g\left( x \right)$ cắt đồ thị hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ là ${{x}_{1}} ; {{x}_{2}} ; {{x}_{3}}$ với $\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}} \right)$. Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y=f\left( x \right) ; y=g\left( x \right) ; x={{x}_{1}} ; x={{x}_{2}}$ và . ${{S}_{2}}$. là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right) ; y=g\left( x \right) ; x={{x}_{2}} ; x={{x}_{3}}$. Khi ${{S}_{1}}=2{{S}_{2}}$ thì $\dfrac{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{3}}}$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 0 ; 1 \right)$.
B. $\left( 1 ; \dfrac{3}{2} \right)$.
C. $\left( \dfrac{3}{2} ; 2 \right)$.
D. $\left( 2 ; \dfrac{5}{2} \right)$.
A. $\left( 0 ; 1 \right)$.
B. $\left( 1 ; \dfrac{3}{2} \right)$.
C. $\left( \dfrac{3}{2} ; 2 \right)$.
D. $\left( 2 ; \dfrac{5}{2} \right)$.
Theo giả thiết, ta có: $f\left( x \right)-g\left( x \right)=k\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)$.
Giả sử $k>0$, ta cần tính $t=\dfrac{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{3}}}, \left( t>0 \right)$.
Ta có: ${{S}_{1}}=k\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)dx=\dfrac{k}{12}{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{3}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2{{x}_{3}} \right)}$
${{S}_{2}}=k\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)dx=-\dfrac{k}{12}{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right)}^{3}}\left( {{x}_{2}}+{{x}_{3}}-2{{x}_{1}} \right)}$.
Suy ra: $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2{{x}_{3}}}{2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}}{{\left( \dfrac{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{3}}} \right)}^{3}}=\dfrac{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+2\left( {{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right)}{2\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+\left( {{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right)}{{\left( \dfrac{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{3}}} \right)}^{3}}=2$.
$\Leftrightarrow \dfrac{t+2}{2t+1}{{t}^{3}}=2\Leftrightarrow {{t}^{4}}+2{{t}^{3}}-4t-2=0\approx t=1,29$
Giả sử $k>0$, ta cần tính $t=\dfrac{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{3}}}, \left( t>0 \right)$.
Ta có: ${{S}_{1}}=k\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)dx=\dfrac{k}{12}{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{3}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2{{x}_{3}} \right)}$
${{S}_{2}}=k\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)dx=-\dfrac{k}{12}{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right)}^{3}}\left( {{x}_{2}}+{{x}_{3}}-2{{x}_{1}} \right)}$.
Suy ra: $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2{{x}_{3}}}{2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}}{{\left( \dfrac{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{3}}} \right)}^{3}}=\dfrac{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+2\left( {{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right)}{2\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+\left( {{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right)}{{\left( \dfrac{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{3}}} \right)}^{3}}=2$.
$\Leftrightarrow \dfrac{t+2}{2t+1}{{t}^{3}}=2\Leftrightarrow {{t}^{4}}+2{{t}^{3}}-4t-2=0\approx t=1,29$
Đáp án B.