Google
Câu hỏi: Cho đoạn mạch $\mathrm{AB}$ như hình vẽ. Biết $\mathrm{R}=80 \Omega, \mathrm{r}=20 \Omega$. Đặt vào hai đâu mạch một điện áp xoay chiều $\mathrm{u}=\mathrm{U} \sqrt{2} \cos (100 \pi \mathrm{t})(\mathrm{V})$. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của điện áp tức thời giữa hai điểm $\mathrm{A}, \mathrm{N}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{AN}}\right)$ và giữa hai điểm $\mathrm{M}, \mathrm{B}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{MB}}\right)$ theo thời gian được biểu diễn như hình vẽ sau.
Hệ số công suất của đoạn mạch AB và điện áp hiệu dụng U đặt vào hai đầu mạch có giá trị gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 0,96; 200 V.
B. 0,71; 250V.
C. 0,96; 180 V.
D. 0,87; 220 V.
Hệ số công suất của đoạn mạch AB và điện áp hiệu dụng U đặt vào hai đầu mạch có giá trị gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 0,96; 200 V.
B. 0,71; 250V.
C. 0,96; 180 V.
D. 0,87; 220 V.
Giải 1:
Nhìn vào đồ thị ta có: $u_{A N}=300 \cos (100 \pi t)(V)$
và $u_{M B}=60 \sqrt{2} \cos \left(100 \pi t-\dfrac{\pi}{2}\right)(V)$ $\Rightarrow$ uAN vuông pha với uMB.
Dựa vào đề ta vẽ được giản đồ vec tơ như hình:
Ta có: $\dfrac{{{U}_{R}}}{{{U}_{r}}}=\dfrac{R}{r}=\dfrac{80}{20}=4\Rightarrow {{U}_{R}}=4{{U}_{r}}\Rightarrow {{U}_{R}}+{{U}_{r}}=5{{U}_{r}}$
* $\cos \alpha =\dfrac{{{U}_{LC}}}{60}=\dfrac{5{{U}_{r}}}{150\sqrt{2}}\Rightarrow {{U}_{LC}}=\sqrt{2}{{U}_{r}}$
* ${{U}_{MB}}=\sqrt{U_{r}^{2}+U_{LC}^{2}}\leftrightarrow 60=\sqrt{U_{r}^{2}+(\sqrt{2}{{U}_{r}})_{{}}^{2}}=\sqrt{3}\ {{U}_{r}}\Rightarrow {{U}_{r}}=20\sqrt{3}(V)$
* ${{U}_{LC}}=\sqrt{2}\ {{U}_{r}}=\sqrt{2}.20\sqrt{3}=20\sqrt{6}\left( V \right)$
Suy ra: $U=\sqrt{{{\left( {{U}_{R}}+{{U}_{r}} \right)}^{2}}+U_{LC}^{2}}=\sqrt{{{\left( 5{{U}_{r}} \right)}^{2}}+U_{LC}^{2}}=\sqrt{{{\left( 5.20\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 20\sqrt{6} \right)}^{2}}}=180\ (V)$.
Hệ số công suất của đoạn mạch AB: $\cos \varphi =\dfrac{{{U}_{R}}+{{U}_{r}}}{U}=\dfrac{5{{U}_{r}}}{U}=\dfrac{100\sqrt{3}}{180}=0,96.$
Giải 2: Theo đồ thị ta thấy uAN và uMB vuông pha nhau
Vẽ giãn đồ véc tơ như hình vẽ bên:
Do MB vuông góc với AN, AM' vuông góc với NB
Nên 2 tam giác AM'N và BMM' đồng dạng với nhau:
$\dfrac{AM'}{BM'}=\dfrac{AN}{MB}=\dfrac{{{U}_{AN}}}{{{U}_{MB}}}=$ $\dfrac{300}{60\sqrt{2}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow$ $\dfrac{R+r'}{{{Z}_{C}}-{{Z}_{L}}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow$ ${{Z}_{C}}-{{Z}_{L}}=\dfrac{(R+r)\sqrt{2}}{5}=20\ \sqrt{2}\Omega $
Do đó $Z=\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\sqrt{{{100}^{2}}+{{(20\sqrt{2})}^{2}}}=60\sqrt{3}\ \Omega $
ZMB = ${{Z}_{MB}}=\sqrt{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\sqrt{{{20}^{2}}+{{(20\sqrt{2})}^{2}}}=20\sqrt{3}\Omega $
Ta có: $I=\dfrac{U}{Z}=\dfrac{{{U}_{MB}}}{{{Z}_{MB}}}=\dfrac{60}{20\sqrt{3}}=\sqrt{3}A.$ $\Rightarrow$ $U=IZ=\sqrt{3}.60\sqrt{3}=180\ V$
Hệ số công suất của đoạn mạch AB: $\cos \varphi =\dfrac{R+r}{Z}=\dfrac{80+20}{60\sqrt{3}}=0,96.$
Giải 3:
Từ đồ thị, dễ thấy UAN và UMB vuông pha :
$\dfrac{{{Z}_{L}}}{(R+r)}.\dfrac{{{Z}_{C}}-{{Z}_{L}}}{r}=1\leftrightarrow {{Z}_{C}}-{{Z}_{L}}=\dfrac{(R+r)r}{{{Z}_{L}}}$
$\Rightarrow \left(Z_{C}-Z_{L}\right)=\dfrac{100.20}{Z_{L}}=\dfrac{2000}{Z_{L}}$ (1)
Mạch nối tiếp cùng I: $\dfrac{{{U}_{AN}}}{\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=\dfrac{{{U}_{MB}}}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}.$
Thế số: $\dfrac{150\sqrt{2}}{\sqrt{{{(80+20)}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=\dfrac{60}{\sqrt{{{20}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}.$ (2)
Thế (1) vào (2)
$\begin{aligned}
& \dfrac{150\sqrt{2}}{\sqrt{{{(80+20)}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=\dfrac{60}{\sqrt{{{20}^{2}}+{{(\dfrac{2000}{{{Z}_{L}}})}^{2}}}}\leftrightarrow {{450.20}^{2}}+450{{(\dfrac{2000}{{{Z}_{L}}})}^{2}}={{36.100}^{2}}+36Z_{L}^{2} \\
& \leftrightarrow 180000+\dfrac{{{18.10}^{8}}}{Z_{L}^{2}}=360000+36Z_{L}^{2}\leftrightarrow \dfrac{{{18.10}^{8}}}{Z_{L}^{2}}=180000+36Z_{L}^{2}\leftrightarrow 36Z_{L}^{4}+180000Z_{L}^{2}-{{18.10}^{8}}=0 \\
& \Rightarrow 2Z_{L}^{4}+10000Z_{L}^{2}-{{10}^{8}}=0\Rightarrow Z_{L}^{2}=5000\Rightarrow {{Z}_{L}}=50\sqrt{2}\ \Omega \quad (3) \\
\end{aligned}$
Thay (3) vào (1): $({{Z}_{C}}-{{Z}_{L}})=\dfrac{2000}{50\sqrt{2}}=20\sqrt{2}\to {{Z}_{C}}=20\sqrt{2}+{{Z}_{L}}=20\sqrt{2}+50\sqrt{2}=70\sqrt{2}\Omega $
Tổng trở Z: $\begin{aligned}
& Z=\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\sqrt{{{(80+10)}^{2}}+{{(50\sqrt{2}-70\sqrt{2})}^{2}}}=\sqrt{{{100}^{2}}+{{(20\sqrt{2})}^{2}}}. \\
& Z=\sqrt{{{100}^{2}}+800}=60\sqrt{3}\ \Omega \\
\end{aligned}$
Cường độ hiệu dụng: $I=\dfrac{{{U}_{AN}}}{\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=\dfrac{150\sqrt{2}}{\sqrt{{{(80+20)}^{2}}+(50\sqrt{2})_{{}}^{2}}}=\dfrac{150\sqrt{2}}{\sqrt{10000+5000}}=\dfrac{150\sqrt{2}}{50\sqrt{6}}=\sqrt{3}A$
Điện áp hiệu dụng U đặt vào hai đầu mạch: $U=I.Z=\sqrt{3}.60\sqrt{3}=180\ V$.
Hệ số công suất của đoạn mạch AB: $\cos \varphi =\dfrac{R+r}{Z}==\dfrac{80+20}{60\sqrt{3}}=0,96.$
Tính thêm:
Hệ số công suất đoạn AN: $\cos {{\varphi }_{AN}}=\dfrac{R+r}{\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=\dfrac{80+20}{\sqrt{{{(80+20)}^{2}}+(50\sqrt{2})_{{}}^{2}}}=\dfrac{100}{50\sqrt{4+2}}=\dfrac{2}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\approx 0,82$
Hệ số công suất đoạn NB: $\cos {{\varphi }_{NB}}=\dfrac{r}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{(Z_{L}^{{}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}=\dfrac{20}{\sqrt{{{20}^{2}}+(50\sqrt{2}-70\sqrt{2})_{{}}^{2}}}=\dfrac{20}{20\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=0,577$
Nhìn vào đồ thị ta có: $u_{A N}=300 \cos (100 \pi t)(V)$
và $u_{M B}=60 \sqrt{2} \cos \left(100 \pi t-\dfrac{\pi}{2}\right)(V)$ $\Rightarrow$ uAN vuông pha với uMB.
Dựa vào đề ta vẽ được giản đồ vec tơ như hình:
Ta có: $\dfrac{{{U}_{R}}}{{{U}_{r}}}=\dfrac{R}{r}=\dfrac{80}{20}=4\Rightarrow {{U}_{R}}=4{{U}_{r}}\Rightarrow {{U}_{R}}+{{U}_{r}}=5{{U}_{r}}$
* $\cos \alpha =\dfrac{{{U}_{LC}}}{60}=\dfrac{5{{U}_{r}}}{150\sqrt{2}}\Rightarrow {{U}_{LC}}=\sqrt{2}{{U}_{r}}$
* ${{U}_{MB}}=\sqrt{U_{r}^{2}+U_{LC}^{2}}\leftrightarrow 60=\sqrt{U_{r}^{2}+(\sqrt{2}{{U}_{r}})_{{}}^{2}}=\sqrt{3}\ {{U}_{r}}\Rightarrow {{U}_{r}}=20\sqrt{3}(V)$
* ${{U}_{LC}}=\sqrt{2}\ {{U}_{r}}=\sqrt{2}.20\sqrt{3}=20\sqrt{6}\left( V \right)$
Suy ra: $U=\sqrt{{{\left( {{U}_{R}}+{{U}_{r}} \right)}^{2}}+U_{LC}^{2}}=\sqrt{{{\left( 5{{U}_{r}} \right)}^{2}}+U_{LC}^{2}}=\sqrt{{{\left( 5.20\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 20\sqrt{6} \right)}^{2}}}=180\ (V)$.
Hệ số công suất của đoạn mạch AB: $\cos \varphi =\dfrac{{{U}_{R}}+{{U}_{r}}}{U}=\dfrac{5{{U}_{r}}}{U}=\dfrac{100\sqrt{3}}{180}=0,96.$
Giải 2: Theo đồ thị ta thấy uAN và uMB vuông pha nhau
Vẽ giãn đồ véc tơ như hình vẽ bên:
Do MB vuông góc với AN, AM' vuông góc với NB
Nên 2 tam giác AM'N và BMM' đồng dạng với nhau:
$\dfrac{AM'}{BM'}=\dfrac{AN}{MB}=\dfrac{{{U}_{AN}}}{{{U}_{MB}}}=$ $\dfrac{300}{60\sqrt{2}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow$ $\dfrac{R+r'}{{{Z}_{C}}-{{Z}_{L}}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow$ ${{Z}_{C}}-{{Z}_{L}}=\dfrac{(R+r)\sqrt{2}}{5}=20\ \sqrt{2}\Omega $
Do đó $Z=\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\sqrt{{{100}^{2}}+{{(20\sqrt{2})}^{2}}}=60\sqrt{3}\ \Omega $
ZMB = ${{Z}_{MB}}=\sqrt{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\sqrt{{{20}^{2}}+{{(20\sqrt{2})}^{2}}}=20\sqrt{3}\Omega $
Ta có: $I=\dfrac{U}{Z}=\dfrac{{{U}_{MB}}}{{{Z}_{MB}}}=\dfrac{60}{20\sqrt{3}}=\sqrt{3}A.$ $\Rightarrow$ $U=IZ=\sqrt{3}.60\sqrt{3}=180\ V$
Hệ số công suất của đoạn mạch AB: $\cos \varphi =\dfrac{R+r}{Z}=\dfrac{80+20}{60\sqrt{3}}=0,96.$
Giải 3:
Từ đồ thị, dễ thấy UAN và UMB vuông pha :
$\dfrac{{{Z}_{L}}}{(R+r)}.\dfrac{{{Z}_{C}}-{{Z}_{L}}}{r}=1\leftrightarrow {{Z}_{C}}-{{Z}_{L}}=\dfrac{(R+r)r}{{{Z}_{L}}}$
$\Rightarrow \left(Z_{C}-Z_{L}\right)=\dfrac{100.20}{Z_{L}}=\dfrac{2000}{Z_{L}}$ (1)
Mạch nối tiếp cùng I: $\dfrac{{{U}_{AN}}}{\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=\dfrac{{{U}_{MB}}}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}.$
Thế số: $\dfrac{150\sqrt{2}}{\sqrt{{{(80+20)}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=\dfrac{60}{\sqrt{{{20}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}.$ (2)
Thế (1) vào (2)
$\begin{aligned}
& \dfrac{150\sqrt{2}}{\sqrt{{{(80+20)}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=\dfrac{60}{\sqrt{{{20}^{2}}+{{(\dfrac{2000}{{{Z}_{L}}})}^{2}}}}\leftrightarrow {{450.20}^{2}}+450{{(\dfrac{2000}{{{Z}_{L}}})}^{2}}={{36.100}^{2}}+36Z_{L}^{2} \\
& \leftrightarrow 180000+\dfrac{{{18.10}^{8}}}{Z_{L}^{2}}=360000+36Z_{L}^{2}\leftrightarrow \dfrac{{{18.10}^{8}}}{Z_{L}^{2}}=180000+36Z_{L}^{2}\leftrightarrow 36Z_{L}^{4}+180000Z_{L}^{2}-{{18.10}^{8}}=0 \\
& \Rightarrow 2Z_{L}^{4}+10000Z_{L}^{2}-{{10}^{8}}=0\Rightarrow Z_{L}^{2}=5000\Rightarrow {{Z}_{L}}=50\sqrt{2}\ \Omega \quad (3) \\
\end{aligned}$
Thay (3) vào (1): $({{Z}_{C}}-{{Z}_{L}})=\dfrac{2000}{50\sqrt{2}}=20\sqrt{2}\to {{Z}_{C}}=20\sqrt{2}+{{Z}_{L}}=20\sqrt{2}+50\sqrt{2}=70\sqrt{2}\Omega $
Tổng trở Z: $\begin{aligned}
& Z=\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\sqrt{{{(80+10)}^{2}}+{{(50\sqrt{2}-70\sqrt{2})}^{2}}}=\sqrt{{{100}^{2}}+{{(20\sqrt{2})}^{2}}}. \\
& Z=\sqrt{{{100}^{2}}+800}=60\sqrt{3}\ \Omega \\
\end{aligned}$
Cường độ hiệu dụng: $I=\dfrac{{{U}_{AN}}}{\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=\dfrac{150\sqrt{2}}{\sqrt{{{(80+20)}^{2}}+(50\sqrt{2})_{{}}^{2}}}=\dfrac{150\sqrt{2}}{\sqrt{10000+5000}}=\dfrac{150\sqrt{2}}{50\sqrt{6}}=\sqrt{3}A$
Điện áp hiệu dụng U đặt vào hai đầu mạch: $U=I.Z=\sqrt{3}.60\sqrt{3}=180\ V$.
Hệ số công suất của đoạn mạch AB: $\cos \varphi =\dfrac{R+r}{Z}==\dfrac{80+20}{60\sqrt{3}}=0,96.$
Tính thêm:
Hệ số công suất đoạn AN: $\cos {{\varphi }_{AN}}=\dfrac{R+r}{\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=\dfrac{80+20}{\sqrt{{{(80+20)}^{2}}+(50\sqrt{2})_{{}}^{2}}}=\dfrac{100}{50\sqrt{4+2}}=\dfrac{2}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\approx 0,82$
Hệ số công suất đoạn NB: $\cos {{\varphi }_{NB}}=\dfrac{r}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{(Z_{L}^{{}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}=\dfrac{20}{\sqrt{{{20}^{2}}+(50\sqrt{2}-70\sqrt{2})_{{}}^{2}}}=\dfrac{20}{20\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=0,577$
Đáp án C.