Google
Câu hỏi: Cho đoạn mạch AB gồm biến trở R, cuộn dây không thuần cảm với độ tự cảm $L=\dfrac{0,6}{\pi }H$, điện trở thuần r > 10 Ω, tụ điện có điện dung $C=\dfrac{{{10}^{-~3}}}{3\pi }F$ mắc nối tiếp. Đặt điện áp xoay chiều 3 F mắc nối tiếp. Đặt điện áp xoay chiều $u=U.\sqrt{2}.\cos \left( 100\pi t \right)\left( V \right)$ với U không đổi vào hai đầu A, B. Thay đổi giá trị biến trở R ta thu được đồ thị phụ thuộc của công suất tiêu thụ trên mạch vào giá trị R theo đường (1). Nối tắt cuộn dây và tiếp tục thi được đồ thị (2) biểu diễn sự phụ thuộc của công suất trên mạch vào giá trị R. Tỉ số $\dfrac{{{R}_{0}}}{r}$ có giá trị là:
A. 3
B. 4
C. $\dfrac{1}{3}$
D. $\dfrac{1}{4}$
A. 3
B. 4
C. $\dfrac{1}{3}$
D. $\dfrac{1}{4}$
Phương pháp: Công suất của đoạn mạch điện xoay chiều: $P={{I}^{2}}.\left( R+r \right)=\dfrac{{{U}^{2}}.\left( R+r \right)}{{{\left( R+r \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}$
Từ đồ thị ta tìm được giá trị R0 để công suất mạch cực đại.
Mặt khác tại R = 0 thì ${{P}_{1}}={{P}_{2}}$ khi R = 10Ω.
Từ đó ta tìm được r và lập tỉ số $\dfrac{{{R}_{0}}}{r}$
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{Z}_{L}}=\omega L=100\pi \dfrac{0,6}{\pi }=60\Omega \\
& {{Z}_{C}}=\dfrac{1}{\omega .C}=\dfrac{1}{100\pi .\dfrac{{{10}^{-3}}}{3\pi }}=30\Omega \\
\end{aligned} \right.$
Từ đồ thị đường biểu diễn (1) là đồ thị công suất của mạch phụ thuộc R, ta có công suất đoạn mạch là:
$P={{I}^{2}}.\left( R+r \right)=\dfrac{{{U}^{2}}\left( R+r \right)}{{{\left( R+r \right)}^{2}}{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}$
Khi nối tắt cuộn dây thì công suất của mạch là:
${{P}_{\left( 2 \right)}}=\dfrac{{{U}^{2}}.R}{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{R+\dfrac{Z_{C}^{2}}{R}}$
Theo bất đẳng thức Cosi ta có:
$R+\dfrac{Z_{C}^{2}}{R}\ge 2.\sqrt{R.\dfrac{Z_{C}^{2}~}{R}}=~2~{{Z}_{C~}}$
⇒ ${{P}_{\left( 2 \right)}}\le ~\dfrac{{{U}^{2}}}{2{{Z}_{C}}}~={{P}_{0}}\Leftrightarrow R=\dfrac{Z_{C}^{2}}{R}~\Leftrightarrow {{R}_{0}}~={{Z}_{C}}~=30\Omega $
Mặt khác khi R = 0 thì ${{P}_{\left( 1 \right)}}$ bằng giá trị ${{P}_{\left( 2 \right)}}$ tại $R=10\Omega .$
Ta có:
$\dfrac{{{U}^{2}}.\left( 0+r \right)}{{{\left( 0+r~ \right)}^{2}}{{\left( 60+30 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}.10}{{{10}^{2}}+30{{~}^{2}}}~$
$\Leftrightarrow 10.\left( {{r}^{2}}+{{30}^{2}} \right)=\left( {{10}^{2}}+{{30}^{2~}} \right).r$
$\Leftrightarrow 10{{r}^{2}}-1000+9000=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& r=90\left( tm \right) \\
& r=10\left( loai \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy tỉ số: $\dfrac{r}{{{R}_{0}}~}=\dfrac{90}{30}=3$
Từ đồ thị ta tìm được giá trị R0 để công suất mạch cực đại.
Mặt khác tại R = 0 thì ${{P}_{1}}={{P}_{2}}$ khi R = 10Ω.
Từ đó ta tìm được r và lập tỉ số $\dfrac{{{R}_{0}}}{r}$
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{Z}_{L}}=\omega L=100\pi \dfrac{0,6}{\pi }=60\Omega \\
& {{Z}_{C}}=\dfrac{1}{\omega .C}=\dfrac{1}{100\pi .\dfrac{{{10}^{-3}}}{3\pi }}=30\Omega \\
\end{aligned} \right.$
Từ đồ thị đường biểu diễn (1) là đồ thị công suất của mạch phụ thuộc R, ta có công suất đoạn mạch là:
$P={{I}^{2}}.\left( R+r \right)=\dfrac{{{U}^{2}}\left( R+r \right)}{{{\left( R+r \right)}^{2}}{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}$
Khi nối tắt cuộn dây thì công suất của mạch là:
${{P}_{\left( 2 \right)}}=\dfrac{{{U}^{2}}.R}{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{R+\dfrac{Z_{C}^{2}}{R}}$
Theo bất đẳng thức Cosi ta có:
$R+\dfrac{Z_{C}^{2}}{R}\ge 2.\sqrt{R.\dfrac{Z_{C}^{2}~}{R}}=~2~{{Z}_{C~}}$
⇒ ${{P}_{\left( 2 \right)}}\le ~\dfrac{{{U}^{2}}}{2{{Z}_{C}}}~={{P}_{0}}\Leftrightarrow R=\dfrac{Z_{C}^{2}}{R}~\Leftrightarrow {{R}_{0}}~={{Z}_{C}}~=30\Omega $
Mặt khác khi R = 0 thì ${{P}_{\left( 1 \right)}}$ bằng giá trị ${{P}_{\left( 2 \right)}}$ tại $R=10\Omega .$
Ta có:
$\dfrac{{{U}^{2}}.\left( 0+r \right)}{{{\left( 0+r~ \right)}^{2}}{{\left( 60+30 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}.10}{{{10}^{2}}+30{{~}^{2}}}~$
$\Leftrightarrow 10.\left( {{r}^{2}}+{{30}^{2}} \right)=\left( {{10}^{2}}+{{30}^{2~}} \right).r$
$\Leftrightarrow 10{{r}^{2}}-1000+9000=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& r=90\left( tm \right) \\
& r=10\left( loai \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy tỉ số: $\dfrac{r}{{{R}_{0}}~}=\dfrac{90}{30}=3$
Đáp án C.