Google
Câu hỏi: Cho đồ thị $\left( C \right):y=\dfrac{x}{x-1}$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $I\left( 1;1 \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Khi diện tích tam giác $MAB$ đạt giá trị nhỏ nhất, với $M\left( 0;3 \right)$ thì độ dài đoạn $AB$ bằng
A. $\sqrt{10}$.
B. $\sqrt{6}$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $2\sqrt{3}$.
A. $\sqrt{10}$.
B. $\sqrt{6}$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $2\sqrt{3}$.
Gọi $A\left( 1-m;\dfrac{1-m}{-m} \right);B\left( 1+m;\dfrac{m+1}{m} \right)$ với $m>0$.
$I\left( 1;1 \right)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số, suy ra $I$ là trung điểm của $A,B$.
${{S}_{\Delta MAB}}=2{{S}_{\Delta MIB}}$ nên ${{S}_{\Delta MAB}}\min $ khi ${{S}_{\Delta MIB}}$ min.
Phương trình đường thẳng $MI:2x+y-3=0$.
Ta có
${{S}_{MIB}}=\dfrac{1}{2}ah=\dfrac{1}{2}d\left( B;IM \right).IM=\dfrac{1}{2}\left| \dfrac{2{{m}^{2}}-m+1}{m} \right|$
Xét hàm số $g\left( m \right)=\dfrac{2{{m}^{2}}-m+1}{m}$
${g}'\left( m \right)=\dfrac{2{{m}^{2}}-1}{{{m}^{2}}}$
Ta có bảng biến thiên
Suy ra $\underset{m>0}{\mathop{\min \left| g\left( m \right) \right|}} =2\sqrt{2}-1$ khi $m=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Khi đó $IB=\sqrt{{{m}^{2}}+\dfrac{1}{{{m}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{5}{2}}$ suy ra $AB=2IB=\sqrt{10}$.
$I\left( 1;1 \right)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số, suy ra $I$ là trung điểm của $A,B$.
${{S}_{\Delta MAB}}=2{{S}_{\Delta MIB}}$ nên ${{S}_{\Delta MAB}}\min $ khi ${{S}_{\Delta MIB}}$ min.
Phương trình đường thẳng $MI:2x+y-3=0$.
Ta có
${{S}_{MIB}}=\dfrac{1}{2}ah=\dfrac{1}{2}d\left( B;IM \right).IM=\dfrac{1}{2}\left| \dfrac{2{{m}^{2}}-m+1}{m} \right|$
Xét hàm số $g\left( m \right)=\dfrac{2{{m}^{2}}-m+1}{m}$
${g}'\left( m \right)=\dfrac{2{{m}^{2}}-1}{{{m}^{2}}}$
Ta có bảng biến thiên
Khi đó $IB=\sqrt{{{m}^{2}}+\dfrac{1}{{{m}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{5}{2}}$ suy ra $AB=2IB=\sqrt{10}$.
Đáp án A.