Google
Câu hỏi: Cho đồ thị $\left( C \right):y=\dfrac{x}{x-1}.$ Đường thẳng $d$ đi qua điểm $I\left( 1;1 \right),$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B.$ Khi đó diện tích tam giác $MAB,$ với $M\left( 0;3 \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn $AB$ bằng:
A. $\sqrt{10}$
B. $\sqrt{6}$
C. $2\sqrt{2}$
D. $2\sqrt{3}$
A. $\sqrt{10}$
B. $\sqrt{6}$
C. $2\sqrt{2}$
D. $2\sqrt{3}$
Phương pháp:
- Sử dụng: Vì $I$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x}{x-1}\Rightarrow IA=IB.$
- Chứng minh ${{S}_{\Delta MAB}}=2{{S}_{\Delta MAI}}$
- Kẻ $AH\bot MI\left( H\in MI \right)$ ta có ${{S}_{\Delta MAI}}=\dfrac{1}{2}AH.MI,$ chứng minh để ${{S}_{\Delta MAB}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì ${{S}_{\Delta MAI}}$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow AH$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- Viết phương trình đường thẳng $MI,$ tính $AH=d\left( A;MI \right)$, sử dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN.
- Suy ra tọa độ điểm $A,$ tính $IA$ và suy ra $AB.$
Cách giải:
Dễ thấy $I$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x}{x-1}$ (giao điểm 2 đường tiệm cận).
Vì $d$ đi qua $I$ và cắt đồ thị $y=\dfrac{x}{x-1}$ tại 2 điểm phân biệt $A,B$ nên $IA=IB=\dfrac{1}{2}AB.$
Ta có: $\dfrac{{{S}_{\Delta MAI}}}{{{S}_{\Delta MAB}}}=\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{S}_{\Delta MAB}}=2{{S}_{\Delta MAI}}$
Kẻ $AH\bot MI\left( H\in MI \right)$ ta có ${{S}_{\Delta MAI}}=\dfrac{1}{2}AH.MI$ với $MI=\sqrt{{{\left( 1-0 \right)}^{2}}+{{\left( 1-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{5}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta MAI}}=\dfrac{1}{2}AH.\sqrt{5}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}AH.$
Để ${{S}_{\Delta MAB}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì ${{S}_{\Delta MAI}}$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow AH$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương trình đường thẳng $MI$ là $\dfrac{x-1}{0-1}=\dfrac{y-1}{3-1}\Leftrightarrow 2\left( x-1 \right)=-\left( y-1 \right)\Leftrightarrow 2x+y-3=0$
Gọi $A\left( {{x}_{0}};\dfrac{{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-1} \right)\in \left( C \right)$ ta có $AH=d\left( A;MI \right)=\dfrac{\left| 2{{x}_{0}}+\dfrac{{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-1}-3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2{{x}_{0}}+\dfrac{1}{{{x}_{0}}-1}-2 \right|}{\sqrt{5}}.$
Giả sử $A$ là điểm nằm bên phải đường thẳng $x>1\Rightarrow {{x}_{0}}>1.$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $2{{x}_{0}}+\dfrac{1}{{{x}_{0}}-1}-2=2\left( {{x}_{0}}-1 \right)+\dfrac{1}{{{x}_{0}}-1}\ge 2\sqrt{2}\Rightarrow A{{H}_{\min }}=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow 2\left( {{x}_{0}}-1 \right)=\dfrac{1}{{{x}_{0}}-1}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{x}_{0}}-1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Khi đó $A\left( 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}};1+\sqrt{2} \right)\Rightarrow IA=\sqrt{{{\left( 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1+\sqrt{2}-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\Rightarrow AB=2IA=\sqrt{10}.$
Vậy để ${{S}_{\Delta MAB}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $AB=\sqrt{10}.$
- Sử dụng: Vì $I$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x}{x-1}\Rightarrow IA=IB.$
- Chứng minh ${{S}_{\Delta MAB}}=2{{S}_{\Delta MAI}}$
- Kẻ $AH\bot MI\left( H\in MI \right)$ ta có ${{S}_{\Delta MAI}}=\dfrac{1}{2}AH.MI,$ chứng minh để ${{S}_{\Delta MAB}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì ${{S}_{\Delta MAI}}$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow AH$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- Viết phương trình đường thẳng $MI,$ tính $AH=d\left( A;MI \right)$, sử dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN.
- Suy ra tọa độ điểm $A,$ tính $IA$ và suy ra $AB.$
Cách giải:
Dễ thấy $I$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x}{x-1}$ (giao điểm 2 đường tiệm cận).
Vì $d$ đi qua $I$ và cắt đồ thị $y=\dfrac{x}{x-1}$ tại 2 điểm phân biệt $A,B$ nên $IA=IB=\dfrac{1}{2}AB.$
Ta có: $\dfrac{{{S}_{\Delta MAI}}}{{{S}_{\Delta MAB}}}=\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{S}_{\Delta MAB}}=2{{S}_{\Delta MAI}}$
Kẻ $AH\bot MI\left( H\in MI \right)$ ta có ${{S}_{\Delta MAI}}=\dfrac{1}{2}AH.MI$ với $MI=\sqrt{{{\left( 1-0 \right)}^{2}}+{{\left( 1-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{5}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta MAI}}=\dfrac{1}{2}AH.\sqrt{5}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}AH.$
Để ${{S}_{\Delta MAB}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì ${{S}_{\Delta MAI}}$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow AH$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương trình đường thẳng $MI$ là $\dfrac{x-1}{0-1}=\dfrac{y-1}{3-1}\Leftrightarrow 2\left( x-1 \right)=-\left( y-1 \right)\Leftrightarrow 2x+y-3=0$
Gọi $A\left( {{x}_{0}};\dfrac{{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-1} \right)\in \left( C \right)$ ta có $AH=d\left( A;MI \right)=\dfrac{\left| 2{{x}_{0}}+\dfrac{{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-1}-3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2{{x}_{0}}+\dfrac{1}{{{x}_{0}}-1}-2 \right|}{\sqrt{5}}.$
Giả sử $A$ là điểm nằm bên phải đường thẳng $x>1\Rightarrow {{x}_{0}}>1.$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $2{{x}_{0}}+\dfrac{1}{{{x}_{0}}-1}-2=2\left( {{x}_{0}}-1 \right)+\dfrac{1}{{{x}_{0}}-1}\ge 2\sqrt{2}\Rightarrow A{{H}_{\min }}=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow 2\left( {{x}_{0}}-1 \right)=\dfrac{1}{{{x}_{0}}-1}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{x}_{0}}-1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Khi đó $A\left( 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}};1+\sqrt{2} \right)\Rightarrow IA=\sqrt{{{\left( 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1+\sqrt{2}-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\Rightarrow AB=2IA=\sqrt{10}.$
Vậy để ${{S}_{\Delta MAB}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $AB=\sqrt{10}.$
Đáp án A.