Cho đồ thị $\left( C \right):y=\dfrac{x}{x-1}.$ Đường thẳng $d$ đi qua điểm $I\left( 1;1 \right),$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt...

Phương pháp:
- Sử dụng: Vì là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
- Chứng minh
- Kẻ ta có chứng minh để đạt giá trị nhỏ nhất thì đạt giá trị nhỏ nhất đạt giá trị nhỏ nhất.
- Viết phương trình đường thẳng tính , sử dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN.
- Suy ra tọa độ điểm tính và suy ra
Cách giải:

Dễ thấy là tâm đối xứng của đồ thị hàm số (giao điểm 2 đường tiệm cận).
Vì đi qua và cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt nên
Ta có:
Kẻ ta có với

Để đạt giá trị nhỏ nhất thì đạt giá trị nhỏ nhất đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương trình đường thẳng là
Gọi ta có
Giả sử là điểm nằm bên phải đường thẳng
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
Dấu "=" xảy ra
Khi đó
Vậy để đạt giá trị nhỏ nhất thì