Google
Câu hỏi: Cho đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ như hình vẽ dưới đây:
Biết rằng $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}} ; {{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{2}}={{x}_{1}}+2$ và $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=-26$. Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=f\left( \dfrac{f\left( x-3 \right)+13}{x} \right)$ là:
A. $2$.
B. $3$.
C. $5$.
D. $4$.
A. $2$.
B. $3$.
C. $5$.
D. $4$.
Tập xác định của hàm số $g\left( x \right)$ là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
Đặt ${{x}_{1}}=m\Rightarrow {{x}_{2}}={{x}_{1}}+2=m+2$. Từ đồ thị ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<0\Rightarrow m<m+2<0\Leftrightarrow m<-2$.
Ta có: $f\left( x \right)={{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2bx+c=3\left( x-m \right)\left( x-\left( m+2 \right) \right)$. Do vậy:
$f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)dx}=\int{3\left( x-m \right)\left( x-\left( m+2 \right) \right)dx={{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3m\left( m+2 \right)x+5, \left( f\left( 0 \right)=5 \right)}$
Vậy $f\left( m \right)+f\left( m+2 \right)=-26\Leftrightarrow \left( {{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+5 \right)+\left( {{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+1 \right)=-26\Leftrightarrow m=-4$.
Suy ra $f\left( x \right)={{x}^{3}}+9{{x}^{2}}+24x+5={{\left( x+3 \right)}^{3}}-3\left( x+3 \right)-13\Rightarrow \dfrac{f\left( x-3 \right)+13}{x}=\dfrac{{{x}^{3}}-3x}{x}={{x}^{2}}-3$.
$\Rightarrow g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2x{f}'\left( {{x}^{2}}-3 \right)=6x\left( {{x}^{2}}-3+4 \right)\left( {{x}^{2}}-3+2 \right)=6x\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)$
Hàm số $g\left( x \right)$ chỉ đổi dấu qua các điểm $x=\pm 1$ trên tập xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
Vậy hàm số đã cho có $2$ điểm cực trị.
Đặt ${{x}_{1}}=m\Rightarrow {{x}_{2}}={{x}_{1}}+2=m+2$. Từ đồ thị ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<0\Rightarrow m<m+2<0\Leftrightarrow m<-2$.
Ta có: $f\left( x \right)={{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2bx+c=3\left( x-m \right)\left( x-\left( m+2 \right) \right)$. Do vậy:
$f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)dx}=\int{3\left( x-m \right)\left( x-\left( m+2 \right) \right)dx={{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3m\left( m+2 \right)x+5, \left( f\left( 0 \right)=5 \right)}$
Vậy $f\left( m \right)+f\left( m+2 \right)=-26\Leftrightarrow \left( {{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+5 \right)+\left( {{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+1 \right)=-26\Leftrightarrow m=-4$.
Suy ra $f\left( x \right)={{x}^{3}}+9{{x}^{2}}+24x+5={{\left( x+3 \right)}^{3}}-3\left( x+3 \right)-13\Rightarrow \dfrac{f\left( x-3 \right)+13}{x}=\dfrac{{{x}^{3}}-3x}{x}={{x}^{2}}-3$.
$\Rightarrow g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2x{f}'\left( {{x}^{2}}-3 \right)=6x\left( {{x}^{2}}-3+4 \right)\left( {{x}^{2}}-3+2 \right)=6x\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)$
Hàm số $g\left( x \right)$ chỉ đổi dấu qua các điểm $x=\pm 1$ trên tập xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
Vậy hàm số đã cho có $2$ điểm cực trị.
Đáp án A.