Google
Câu hỏi: Cho đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ như hình vẽ, biết $f''\left( 3 \right)=\dfrac{2}{3}.$ Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)=3f\left( 3-2x \right)-m{{x}^{2}}+\left( 6m-12 \right)x$ có đúng bốn điểm cực trị?
A. Vô số.
B. 1
C. 2.
D. 3.
Xét hàm số $g\left( x \right)=3f\left( 3-2x \right)-m{{x}^{2}}+\left( 6m-12 \right)x.$
Ta có: $g'\left( x \right)=-6f'\left( 3-2x \right)-2mx+6m-12=-6\left[ f'\left( 3-2x \right)+\dfrac{m}{3}x-m+2 \right].$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( 3-2x \right)+\dfrac{m}{3}x-m+2=0\left( * \right)$
Đặt $t=3-2x\Rightarrow x=\dfrac{3-t}{2},$ suy ra (*) có dạng:
$f'\left( t \right)+\dfrac{m\left( 3-t \right)}{6}-m+2=0\Leftrightarrow f'\left( t \right)=\dfrac{m}{6}t+\dfrac{m}{2}-2.$
Số nghiệm bội lẻ của phương trình $g'\left( x \right)=0$ bằng với số nghiệm bội lẻ của phương trình $f'\left( t \right)=\dfrac{m}{6}t+\dfrac{m}{2}-2,$ tương đương với số giao điểm không tiếp xúc của hai đồ thị $y=f'\left( t \right)$ và đường thẳng $y=\dfrac{m}{6}t+\dfrac{m}{2}-2=\dfrac{m}{2}\left( \dfrac{t}{3}+1 \right)-2.\left( d \right)$
Đường thẳng $d$ luôn đi qua $A\left( -3;-2 \right).$
Gọi ${{d}_{1}}$ là đường thẳng đi qua $A$ và tiếp xúc với đồ thị hàm số $y=f'\left( t \right)$ tại điểm $\left( 3;2 \right)$ như hình vẽ.
Suy ra: ${{d}_{1}}:y=\dfrac{2}{3}t$ khi đó giá trị tham số $m={{m}_{1}}$ thỏa mãn $\dfrac{{{m}_{1}}}{6}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow {{m}_{1}}=4.$
Gọi ${{d}_{2}}$ là đường thẳng đi qua $A$ và tiếp xúc với đồ thị hàm số $y=f'\left( t \right)$ tại điểm $\left( 1;-2 \right)$ như hình vẽ.
Suy ra: ${{d}_{2}}:y=-2$ khi đó giá trị tham số $m={{m}_{2}}$ thỏa mãn $-2=\dfrac{{{m}_{2}}.1}{6}+\dfrac{{{m}_{2}}}{2}-2\Leftrightarrow {{m}_{2}}=0.$
Để hàm số $g\left( x \right)$ có bốn điểm cực trị thì phương trình $f'\left( t \right)=\dfrac{m}{6}t+\dfrac{m}{2}-2$ có bốn nghiệm bội lẻ, tương đương với đồ thị $y=f'\left( t \right)$ và đường thẳng $d$ có bốn giao điểm xuyên qua.
Do đó ${{m}_{2}}=0<m<{{m}_{1}}=4\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3 \right\}.$
A. Vô số.
B. 1
C. 2.
D. 3.
Xét hàm số $g\left( x \right)=3f\left( 3-2x \right)-m{{x}^{2}}+\left( 6m-12 \right)x.$
Ta có: $g'\left( x \right)=-6f'\left( 3-2x \right)-2mx+6m-12=-6\left[ f'\left( 3-2x \right)+\dfrac{m}{3}x-m+2 \right].$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( 3-2x \right)+\dfrac{m}{3}x-m+2=0\left( * \right)$
Đặt $t=3-2x\Rightarrow x=\dfrac{3-t}{2},$ suy ra (*) có dạng:
$f'\left( t \right)+\dfrac{m\left( 3-t \right)}{6}-m+2=0\Leftrightarrow f'\left( t \right)=\dfrac{m}{6}t+\dfrac{m}{2}-2.$
Số nghiệm bội lẻ của phương trình $g'\left( x \right)=0$ bằng với số nghiệm bội lẻ của phương trình $f'\left( t \right)=\dfrac{m}{6}t+\dfrac{m}{2}-2,$ tương đương với số giao điểm không tiếp xúc của hai đồ thị $y=f'\left( t \right)$ và đường thẳng $y=\dfrac{m}{6}t+\dfrac{m}{2}-2=\dfrac{m}{2}\left( \dfrac{t}{3}+1 \right)-2.\left( d \right)$
Đường thẳng $d$ luôn đi qua $A\left( -3;-2 \right).$
Gọi ${{d}_{1}}$ là đường thẳng đi qua $A$ và tiếp xúc với đồ thị hàm số $y=f'\left( t \right)$ tại điểm $\left( 3;2 \right)$ như hình vẽ.
Suy ra: ${{d}_{1}}:y=\dfrac{2}{3}t$ khi đó giá trị tham số $m={{m}_{1}}$ thỏa mãn $\dfrac{{{m}_{1}}}{6}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow {{m}_{1}}=4.$
Gọi ${{d}_{2}}$ là đường thẳng đi qua $A$ và tiếp xúc với đồ thị hàm số $y=f'\left( t \right)$ tại điểm $\left( 1;-2 \right)$ như hình vẽ.
Suy ra: ${{d}_{2}}:y=-2$ khi đó giá trị tham số $m={{m}_{2}}$ thỏa mãn $-2=\dfrac{{{m}_{2}}.1}{6}+\dfrac{{{m}_{2}}}{2}-2\Leftrightarrow {{m}_{2}}=0.$
Để hàm số $g\left( x \right)$ có bốn điểm cực trị thì phương trình $f'\left( t \right)=\dfrac{m}{6}t+\dfrac{m}{2}-2$ có bốn nghiệm bội lẻ, tương đương với đồ thị $y=f'\left( t \right)$ và đường thẳng $d$ có bốn giao điểm xuyên qua.
Do đó ${{m}_{2}}=0<m<{{m}_{1}}=4\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3 \right\}.$
Đáp án D.