Cho đồ thị hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$...

${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$.
Đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị là $A\left( 0;3 \right)$ và $B\left( 2;-1 \right)$ nên ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)=3 \\
& f\left( 2 \right)=-1 \\
& {f}'\left( 0 \right)=0 \\
& {f}'\left( 2 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=3 \\
& 8a+4b+2c+d=-1 \\
& c=0 \\
& 12a+4b+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-3 \\
& c=0 \\
& d=3 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& a={{2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}} \\
& b={{2}^{f\left( x \right)}} \\
\end{aligned} \right. \left( a, b>0 \right)$, phương trình đã cho trở thành:
${{a}^{2}}-ab+3a=3b\Leftrightarrow a\left( a-b \right)+3\left( a-b \right)=0\Leftrightarrow \left( a-b \right)\left( a+3 \right)=0\Leftrightarrow a=b$.
Do đó ${{2}^{f\left( f\left( x \right) \right)}}={{2}^{f\left( x \right)}}$ $\Leftrightarrow f\left( f\left( x \right) \right)=f\left( x \right)$ $\left( 1 \right)$.
Đặt $t=f\left( x \right)$, phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành:
$f\left( t \right)=t\Leftrightarrow {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+3=t\Leftrightarrow {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-t+3=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=-1 \\
& {{t}_{2}}=1 \\
& {{t}_{3}}=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên của $f\left( x \right)$ :
Với $t=-1$ thì $f\left( x \right)=-1$ có $2$ nghiệm thực phân biệt.
Với $t=1$ thì $f\left( x \right)=1$ có $3$ nghiệm thực phân biệt.
Với $t=3$ thì $f\left( x \right)=3$ có $2$ nghiệm thực phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm thực phân biệt.