Google
Câu hỏi: Cho đồ thị hàm số đa thức $y=f\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Số các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -2020;2021 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)-mf\left( x \right)$ có đúng hai điểm cực đại là:
A. 2027
B. 2021
C. 2019
D. 2022
A. 2027
B. 2021
C. 2019
D. 2022
Cách giải:
Ta có $g\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)-mf\left( x \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=2f\left( x \right)f'\left( x \right)-mf'\left( x \right)=f'\left( x \right)\left[ 2f\left( x \right)-m \right]$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0\text{ }\left( 1 \right) \\
& f\left( x \right)=\dfrac{m}{2}\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $x=0,x=a,x=b\left( 0<a<b \right).$
TH1: $\dfrac{m}{2}>5\Leftrightarrow m>10.$ Suy ra phương trình (2) vô nghiệm và $f\left( x \right)<\dfrac{m}{2}\forall x$ nên dấu của $g'\left( x \right)$ ngược dấu với $f'\left( x \right),$ do đó hàm số $g\left( x \right)$ có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu (không thỏa mãn).
TH2: $\dfrac{m}{2}=5\Leftrightarrow m=10.$ Suy ra phương trình (2) có nghiệm kép và $f\left( x \right)\le \dfrac{m}{2}\forall x$ nên dấu của $g'\left( x \right)$ ngược dấu với $f'\left( x \right),$ do đó hàm số $g\left( x \right)$ có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu (không thỏa mãn).
TH3: $1<\dfrac{m}{2}<5\Leftrightarrow 2<m<10.$ Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt $x=c,x=d\left( a<c<d<b \right).$
Ta có BXD:
Dựa vào BXD ta thấy hàm số $g\left( x \right)$ có 3 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại $\Rightarrow $ Thỏa mãn.
TH4: $\dfrac{m}{2}=1\Leftrightarrow m=2.$ Suy ra phương trình $f\left( x \right)=\dfrac{m}{2}$ có 3 nghiệm phân biệt $x=0$ (nghiệm kép), $x=c,x=d\left( a<c<d<b \right).$
Tương tự TH3 hàm số $g\left( x \right)$ cũng có 2 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu $\Rightarrow $ Thỏa mãn.
TH5: $-1<\dfrac{m}{2}<1\Leftrightarrow -2<m<2.$ Suy ra phương trình $f\left( x \right)=\dfrac{m}{2}$ có 4 nghiệm phân biệt, lập BXD tương tự TH3 ta có hàm số $g\left( x \right)$ có 4 điểm cực tiểu và 3 điểm cực đại $\Rightarrow $ Không thỏa mãn.
TH6: $\dfrac{m}{2}=-1\Leftrightarrow m=-2.$ Hàm số $g\left( x \right)$ có 3 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại (thỏa mãn).
TH7: $\dfrac{m}{2}<-1\Leftrightarrow m<-2.$ Hàm số $g\left( x \right)$ có ba điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại (thỏa mãn).
Kết hợp các TH ta có $m\in \left( -\infty ;-2 \right]\cup \left[ 2;10 \right).$
Vậy có $1999+8=2007$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có $g\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)-mf\left( x \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=2f\left( x \right)f'\left( x \right)-mf'\left( x \right)=f'\left( x \right)\left[ 2f\left( x \right)-m \right]$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0\text{ }\left( 1 \right) \\
& f\left( x \right)=\dfrac{m}{2}\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $x=0,x=a,x=b\left( 0<a<b \right).$
TH1: $\dfrac{m}{2}>5\Leftrightarrow m>10.$ Suy ra phương trình (2) vô nghiệm và $f\left( x \right)<\dfrac{m}{2}\forall x$ nên dấu của $g'\left( x \right)$ ngược dấu với $f'\left( x \right),$ do đó hàm số $g\left( x \right)$ có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu (không thỏa mãn).
TH2: $\dfrac{m}{2}=5\Leftrightarrow m=10.$ Suy ra phương trình (2) có nghiệm kép và $f\left( x \right)\le \dfrac{m}{2}\forall x$ nên dấu của $g'\left( x \right)$ ngược dấu với $f'\left( x \right),$ do đó hàm số $g\left( x \right)$ có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu (không thỏa mãn).
TH3: $1<\dfrac{m}{2}<5\Leftrightarrow 2<m<10.$ Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt $x=c,x=d\left( a<c<d<b \right).$
Ta có BXD:
Dựa vào BXD ta thấy hàm số $g\left( x \right)$ có 3 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại $\Rightarrow $ Thỏa mãn.
TH4: $\dfrac{m}{2}=1\Leftrightarrow m=2.$ Suy ra phương trình $f\left( x \right)=\dfrac{m}{2}$ có 3 nghiệm phân biệt $x=0$ (nghiệm kép), $x=c,x=d\left( a<c<d<b \right).$
Tương tự TH3 hàm số $g\left( x \right)$ cũng có 2 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu $\Rightarrow $ Thỏa mãn.
TH5: $-1<\dfrac{m}{2}<1\Leftrightarrow -2<m<2.$ Suy ra phương trình $f\left( x \right)=\dfrac{m}{2}$ có 4 nghiệm phân biệt, lập BXD tương tự TH3 ta có hàm số $g\left( x \right)$ có 4 điểm cực tiểu và 3 điểm cực đại $\Rightarrow $ Không thỏa mãn.
TH6: $\dfrac{m}{2}=-1\Leftrightarrow m=-2.$ Hàm số $g\left( x \right)$ có 3 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại (thỏa mãn).
TH7: $\dfrac{m}{2}<-1\Leftrightarrow m<-2.$ Hàm số $g\left( x \right)$ có ba điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại (thỏa mãn).
Kết hợp các TH ta có $m\in \left( -\infty ;-2 \right]\cup \left[ 2;10 \right).$
Vậy có $1999+8=2007$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.