Google
Câu hỏi: Cho điểm $A(-1 ; 0 ;-1)$, hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2+t \\
& z=-2-t \\
\end{aligned} \right. $ và $ d':\left\{ \begin{aligned}
& x=3-t \\
& y=2+2t \\
& z=-3+2t \\
\end{aligned} \right. $, đường thẳng $ \Delta $ đi qua $ A $ cắt đường thẳng $ d $ sao cho góc $ \varphi $ giữa $ \Delta $ và $ d' $ nhỏ nhất, khi đó $ \cos \varphi =\dfrac{a}{\sqrt{b}} \left( a, b\in \mathbb{N} \right) $. Tổng $ a+b$ bằng
A. $7$.
B. $-4$.
C. $2$.
D. $5$.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $N\left( 1;2;-2 \right)$ và có một vectơ chỉ phương ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 2;1;-1 \right)$.
Gọi ${{d}_{1}}$ là đường thẳng qua $A$ và ${{d}_{1}}\text{ // }{d}'$ $\Rightarrow \left( \widehat{\Delta ,{d}'} \right)=\left( \widehat{\Delta ,{{d}_{1}}} \right)=\varphi $.
Ta có phương trình tham số của đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=-1-t \\
& y=2t \\
& z=-1+2t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và chứa $d$. Nên mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{d}},\overrightarrow{AN} \right]=\left( 1;0;2 \right)$. Do đó, phương trình của mặt phẳng $\left( P \right):x+2z+3=0$.
Lấy điểm $M\left( -2;2;1 \right)\in {{d}_{1}}$ và điểm $M$ khác điểm $A$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Suy ra $H=MH\bigcap \left( P \right)$.
Ta có phương trình tham số của $MH:\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=2 \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra: tọa độ của $H$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=2 \\
& z=1+2t \\
& x+2z+3=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow H\left( -\dfrac{13}{5}; 2; -\dfrac{1}{5} \right)$.
Dễ dàng chứng minh được $AH$ cắt được $d.$
Gọi $\alpha =\left( \widehat{{{d}_{1}},AH} \right)=\widehat{MAH}$. Suy ra: $\varphi \ge \alpha $.
Suy ra $\varphi $ nhỏ nhất là khi bằng $\alpha $.
Ta có: $AM=3,AH=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$. Suy ra: $\cos \varphi =\cos \widehat{MAH}=\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
Theo đề, ta có : $a=2,b=5$ nên $a+b=7$.
& x=1+2t \\
& y=2+t \\
& z=-2-t \\
\end{aligned} \right. $ và $ d':\left\{ \begin{aligned}
& x=3-t \\
& y=2+2t \\
& z=-3+2t \\
\end{aligned} \right. $, đường thẳng $ \Delta $ đi qua $ A $ cắt đường thẳng $ d $ sao cho góc $ \varphi $ giữa $ \Delta $ và $ d' $ nhỏ nhất, khi đó $ \cos \varphi =\dfrac{a}{\sqrt{b}} \left( a, b\in \mathbb{N} \right) $. Tổng $ a+b$ bằng
A. $7$.
B. $-4$.
C. $2$.
D. $5$.
Gọi ${{d}_{1}}$ là đường thẳng qua $A$ và ${{d}_{1}}\text{ // }{d}'$ $\Rightarrow \left( \widehat{\Delta ,{d}'} \right)=\left( \widehat{\Delta ,{{d}_{1}}} \right)=\varphi $.
Ta có phương trình tham số của đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=-1-t \\
& y=2t \\
& z=-1+2t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và chứa $d$. Nên mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{d}},\overrightarrow{AN} \right]=\left( 1;0;2 \right)$. Do đó, phương trình của mặt phẳng $\left( P \right):x+2z+3=0$.
Lấy điểm $M\left( -2;2;1 \right)\in {{d}_{1}}$ và điểm $M$ khác điểm $A$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Suy ra $H=MH\bigcap \left( P \right)$.
Ta có phương trình tham số của $MH:\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=2 \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra: tọa độ của $H$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=2 \\
& z=1+2t \\
& x+2z+3=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow H\left( -\dfrac{13}{5}; 2; -\dfrac{1}{5} \right)$.
Dễ dàng chứng minh được $AH$ cắt được $d.$
Gọi $\alpha =\left( \widehat{{{d}_{1}},AH} \right)=\widehat{MAH}$. Suy ra: $\varphi \ge \alpha $.
Suy ra $\varphi $ nhỏ nhất là khi bằng $\alpha $.
Ta có: $AM=3,AH=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$. Suy ra: $\cos \varphi =\cos \widehat{MAH}=\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
Theo đề, ta có : $a=2,b=5$ nên $a+b=7$.
Đáp án A.