Cho dãy số ( ${{u}_{n}}$ ) đư c xác định bởi $\left\{...

Phương pháp:
Áp dụng công thức để tìm các số hạng tiếp theo rồi suy ra quy luật.
Cách giải:
Ta có ${{u}_{n+1}}=4{{u}_{n}}-3{{u}_{n}}_{-1}.~$
+) ${{u}_{2}}=4{{u}_{1}}-3{{u}_{0}}=2022={{u}_{0}}+{{3}^{0}}+~{{3}^{1}}~$
Tương tự ${{u}_{3}}=4{{u}_{2}}-3{{u}_{1}}=2031={{u}_{0}}+{{3}^{0}}+{{3}^{1}}+~{{3}^{2}}~$
${{u}_{4}}=4{{u}_{3}}-{{u}_{2}}=2058={{u}_{0}}+{{3}^{0}}+{{3}^{1}}+{{3}^{2}}+~{{3}^{3}}~$
Suy ra ${{u}_{n}}={{u}_{0}}+{{3}^{0}}+{{3}^{1}}+{{3}^{2}}+...+{{3}^{n~-1}}.~$
Ta có ${{3}^{0}}+{{3}^{1}}+...+{{3}^{n-1}}=1.\dfrac{1-{{3}^{n}}}{1-3}=\dfrac{{{3}^{n}}-1}{2}~.$
⇒ ${{u}_{n}}=2018+\dfrac{{{3}^{n}}-1}{2}~=\dfrac{4035}{2}+\dfrac{1}{2}{{3}^{n}}.~$
Vậy $\lim \dfrac{{{u}_{n}}}{{{3}^{n}}}=lim\dfrac{\dfrac{4035}{2}+\dfrac{1}{2}{{3}^{n}}}{{{3}^{n}}}=\lim \left( \dfrac{4035}{{{2.3}^{n}}}+\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{2}.$