Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn $\left\{...

Phương pháp:
- Đặt ${{v}_{n}}=\dfrac{{{u}_{n}}}{n}$ , chứng minh $v{{~}_{n}}$ là 1 CSN.
- Viết công thức SHTQ của dãy ${{v}_{n}}$, từ đó suy ra SHTQ của dãy ${{u}_{n}}.~$
- Giải bất phương trình tìm n.
Cách giải:
Đặt ${{u}_{n}}=\dfrac{{{u}_{n}}}{n}\Rightarrow {{v}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n+1}}}{n+1}=\dfrac{{{u}_{n}}}{3n}$
Ta có: $\dfrac{{{v}_{n+1}}}{{{v}_{n}}}=\dfrac{{{u}_{n}}}{3n}\cdot \dfrac{{{u}_{n}}}{n}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{v}_{n+1}}=\dfrac{1}{3}{{v}_{n}}\forall n\ge 1$
Do đó $\left( {{v}_{n}} \right)$ là cấp số nhân có ${{v}_{1}}=\dfrac{{{u}_{1}}}{1}=\dfrac{1}{3},q=\dfrac{1}{3}$
⇒ SHTQ: ${{v}_{n}}={{v}_{1}}{{q}^{n-1}}=\dfrac{1}{3}{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{n-1}}=\dfrac{1}{{{3}^{n}}}$
$\Rightarrow {{u}_{n}}=n\cdot {{v}_{n}}=\dfrac{n}{{{3}^{n}}}$
Theo bài ra ta có ${{u}_{n}}<\dfrac{1}{2020}\Leftrightarrow \dfrac{n}{{{3}^{{}^\circ }}}<\dfrac{1}{2020}(n\ge 1)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=~\dfrac{x}{{{3}^{x}}}$ với x≥ 1 ta có:
$\begin{aligned}
& {{f}^{\prime }}(x)=\dfrac{{{3}^{x}}-x\cdot {{3}^{x}}\ln 3}{{{3}^{2x}}}=\dfrac{1-x\ln 3}{{{3}^{x}}} \\
& {{f}^{\prime }}(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\ln 3} \\
\end{aligned}$
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy có vô số giá trị nguyên của nthỏa mãn $f\left( x \right)<~\dfrac{1}{2020}$