Google
Câu hỏi: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}=2020 \\
& {{u}_{n+1}}=\dfrac{1}{3}{{u}_{n}},\forall n\in \mathbb{N}* \\
\end{aligned} \right.. $ Gọi $ {{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}} $ là tổng của $ n $ số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Khi đó $ \lim {{S}_{n}}$ bằng
A. 2020.
B. $\dfrac{1}{3}.$
C. 3030.
D. 2.
& {{u}_{1}}=2020 \\
& {{u}_{n+1}}=\dfrac{1}{3}{{u}_{n}},\forall n\in \mathbb{N}* \\
\end{aligned} \right.. $ Gọi $ {{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}} $ là tổng của $ n $ số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Khi đó $ \lim {{S}_{n}}$ bằng
A. 2020.
B. $\dfrac{1}{3}.$
C. 3030.
D. 2.
Ta có: ${{u}_{n+1}}=\dfrac{1}{3}{{u}_{n}}\Rightarrow q=\dfrac{1}{3}$ là công bội của cấp số nhân dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$
Số hạng tổng quát ${{u}_{n}}={{u}_{1}}{{q}^{n-1}}=2020.\dfrac{1}{{{3}^{n-1}}}$
Khi đó ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}=2020\left( 1+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{{{3}^{n-1}}} \right)=2020\dfrac{1-\dfrac{1}{{{3}^{n}}}}{1-\dfrac{1}{3}}$
$\Rightarrow \lim {{S}_{n}}=\dfrac{2020}{1-\dfrac{1}{3}}=3030.$
Số hạng tổng quát ${{u}_{n}}={{u}_{1}}{{q}^{n-1}}=2020.\dfrac{1}{{{3}^{n-1}}}$
Khi đó ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}=2020\left( 1+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{{{3}^{n-1}}} \right)=2020\dfrac{1-\dfrac{1}{{{3}^{n}}}}{1-\dfrac{1}{3}}$
$\Rightarrow \lim {{S}_{n}}=\dfrac{2020}{1-\dfrac{1}{3}}=3030.$
Đáp án C.