Google
Câu hỏi: Cho cơ hệ như hình vẽ, vật ${{m}_{1}}$, ${{m}_{2}}$ nối với nhau nhờ sợi dây nhẹ, không dãn có chiều dài $\ell $, ban đầu lò xo không biến dạng, đầu B của lò xo để tự do. Biết $k=100 N/m$, ${{m}_{1}}=400 g$, ${{m}_{2}}=600 g$, lấy $g=10={{\pi }^{2}}\left( m/{{s}^{2}} \right)$. Bỏ qua mọi ma sát. Ban đầu $\left( t=0 \right)$ giữ cho ${{m}_{1}}$ và ${{m}_{2}}$ nằm trên mặt phẳng nằm ngang và sau đó thả cho hệ rơi tự do, khi hệ vật rơi đạt được tốc độ ${{v}_{0}}=20\pi \left( cm/s \right)$ thì giữ cố định điểm B và ngay sau đó vật ${{m}_{1}}$ đi thêm được một đoạn 4cm thì sợi dây nối giữa hai vật căng. Thời điểm đầu tiên chiều dài của lò xo cực đại là
A. 0,337 s.
B. 0,314 s.
C. 0,628 s.
D. 0,323 s.
A. 0,337 s.
B. 0,314 s.
C. 0,628 s.
D. 0,323 s.
+ Thời gian kể từ lúc hệ rơi tự do đến khi giữ cố định điểm B:
${{t}_{0}}=\dfrac{v}{g}=0,063 s$
+ Sau khi giữ cố định đầu B, ${{m}_{1}}$ sẽ dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng của ${{m}_{1}}$, tại vị trí này lò xo giãn $\Delta {{l}_{1}}=\dfrac{{{m}_{1}}g}{k}=4 cm$, với tần số góc ${{\omega }_{1}}=\sqrt{\dfrac{k}{{{m}_{1}}}}=5\pi rad/s\to T=0,4 s$.
Biên độ dao động của vật:
${{A}_{1}}=\sqrt{\Delta l_{1}^{2}+{{\left( \dfrac{v}{{{\omega }_{1}}} \right)}^{2}}}=4\sqrt{2} cm$
+ Sau khi đi được quãng đường 4 cm, ${{m}_{1}}$ đến vị trí cân bằng $\to {{t}_{1}}=0,125 T=0,05 s$ và tốc độ của vật ${{m}_{1}}$ lúc này là: ${{v}_{1\max }}={{\omega }_{1}}{{A}_{2}}=20\sqrt{2}\pi cm/s$.
+ Tương ứng với khoảng thời gian đó, tốc độ của vật ${{m}_{2}}$ là:
${{v}_{2}}=v+g{{t}_{1}}=113 cm/s$.
+ Sau khi dây căng, hai vật ${{m}_{1}}$ và ${{m}_{2}}$ được xem như một vật dao động với vận tốc ngay khi dây căng là:
${{v}_{0}}=\dfrac{{{m}_{1}}{{v}_{1\max }}+{{m}_{2}}{{v}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}=103,242 m/s$
Vị trí cân bằng mới nằm dưới vị trí cân bằng cũ một đoạn $\Delta {{l}_{2}}=\dfrac{{{m}_{2}}g}{k}=6 cm$, tần số góc của dao động $\omega =\sqrt{\dfrac{k}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}=10rad/s\to {{T}_{2}}=0,2\pi $ s.
Biên độ của dao động:
${{A}_{2}}=\sqrt{\Delta l_{2}^{2}+{{\left( \dfrac{{{v}_{0}}}{{{\omega }_{2}}} \right)}^{2}}}=11,941 cm$.
+ Chiều dài của lò xo cực đại khi hai vật đến vị trí biên dương → khoảng thời gian tương ứng ${{t}_{2}}=T\dfrac{180-ar\cos \left( \dfrac{\Delta {{l}_{2}}}{{{A}_{2}}} \right)}{360}=0,210 s$
$\to \Delta t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}+{{t}_{3}}=0,323 s$
${{t}_{0}}=\dfrac{v}{g}=0,063 s$
+ Sau khi giữ cố định đầu B, ${{m}_{1}}$ sẽ dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng của ${{m}_{1}}$, tại vị trí này lò xo giãn $\Delta {{l}_{1}}=\dfrac{{{m}_{1}}g}{k}=4 cm$, với tần số góc ${{\omega }_{1}}=\sqrt{\dfrac{k}{{{m}_{1}}}}=5\pi rad/s\to T=0,4 s$.
Biên độ dao động của vật:
${{A}_{1}}=\sqrt{\Delta l_{1}^{2}+{{\left( \dfrac{v}{{{\omega }_{1}}} \right)}^{2}}}=4\sqrt{2} cm$
+ Sau khi đi được quãng đường 4 cm, ${{m}_{1}}$ đến vị trí cân bằng $\to {{t}_{1}}=0,125 T=0,05 s$ và tốc độ của vật ${{m}_{1}}$ lúc này là: ${{v}_{1\max }}={{\omega }_{1}}{{A}_{2}}=20\sqrt{2}\pi cm/s$.
+ Tương ứng với khoảng thời gian đó, tốc độ của vật ${{m}_{2}}$ là:
${{v}_{2}}=v+g{{t}_{1}}=113 cm/s$.
+ Sau khi dây căng, hai vật ${{m}_{1}}$ và ${{m}_{2}}$ được xem như một vật dao động với vận tốc ngay khi dây căng là:
${{v}_{0}}=\dfrac{{{m}_{1}}{{v}_{1\max }}+{{m}_{2}}{{v}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}=103,242 m/s$
Vị trí cân bằng mới nằm dưới vị trí cân bằng cũ một đoạn $\Delta {{l}_{2}}=\dfrac{{{m}_{2}}g}{k}=6 cm$, tần số góc của dao động $\omega =\sqrt{\dfrac{k}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}=10rad/s\to {{T}_{2}}=0,2\pi $ s.
Biên độ của dao động:
${{A}_{2}}=\sqrt{\Delta l_{2}^{2}+{{\left( \dfrac{{{v}_{0}}}{{{\omega }_{2}}} \right)}^{2}}}=11,941 cm$.
+ Chiều dài của lò xo cực đại khi hai vật đến vị trí biên dương → khoảng thời gian tương ứng ${{t}_{2}}=T\dfrac{180-ar\cos \left( \dfrac{\Delta {{l}_{2}}}{{{A}_{2}}} \right)}{360}=0,210 s$
$\to \Delta t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}+{{t}_{3}}=0,323 s$
Đáp án D.