Google
Câu hỏi: Cho cơ hệ như hình vẽ: lò xo có độ cứng $k=100$ N/m, vật nặng khối lượng $m=100$ g, bề mặt chỉ có ma sát trên đoạn $CD$, biết $CD=1$ cm và $\mu =0,5$. Ban đầu vật nặng nằm tại vị trí lò xo không biến dạng, truyền cho vật vận tốc ban đầu ${{v}_{0}}=60\pi $ cm/s dọc theo trục của lò xo hướng theo chiều lò xo giãn. Lấy $g=10$ m/s2. Tốc độ trung bình của vật nặng kể từ thời điểm ban đầu đến khi nó đổi chiều chuyển động lần thứ nhất gần nhất giá trị nào sau đây?
A. 50 cm/s.
B. 100 cm/s.
C. 150 cm/s.
D. 200 cm/s.
B. 100 cm/s.
C. 150 cm/s.
D. 200 cm/s.
Ta có:
o $k=100$ N/m; $m=100$ g.
o $\omega =\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{100}{\left( {{100.10}^{-3}} \right)}}=10\pi $ rad/s → $T=0,2$ s.
Chuyển động của vật kể từ thời điểm ban đầu đến lúc nó đổi chiều chuyển động lần đầu tiên được chia thành các giai đoạn sau:
Giai đoạn 1: Chuyển động từ $O$ đến $C$
olà dao động điều hòa với biên độ ${{A}_{1}}=\dfrac{{{v}_{0}}}{\omega }=\dfrac{60\pi }{10\pi }=6$ cm.
othời gian chuyển động ${{t}_{1}}=\dfrac{T}{12}=\dfrac{0,2}{12}=\dfrac{1}{60}$ s.
ovận tốc khi vật đến $C$ : ${{v}_{C}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{v}_{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\left( 60\pi \right)=30\sqrt{3}\pi $ cm/s.
Giai đoạn 2: Chuyển động từ $C$ đến $D$
olà dao động điều hòa chịu thêm tác dụng của ma sát có độ lớn không đổi. Vị trí cân bằng mới lệch khỏi $O$ theo hướng lò xo bị nén một đoạn
$\Delta {{l}_{0}}=\dfrac{\mu mg}{k}=\dfrac{\left( 0,5 \right).\left( {{100.10}^{-3}} \right).\left( 10 \right)}{100}=0,5$ cm
→ ${{A}_{2}}=\sqrt{{{\left( \Delta {{l}_{0}}+OC \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{v}_{C}}}{\omega } \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 0,5+3 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{30\sqrt{3}\pi }{10\pi } \right)}^{2}}}=6,265$ cm.
othời gian chuyển động $\Delta {{t}_{2}}=\dfrac{\arccos \left( \dfrac{3,5}{6,265} \right)-\arccos \left( \dfrac{4,5}{6,265} \right)}{{{360}^{0}}}.\left( 0,2 \right)=6,{{64.10}^{-3}}$ s.
ovận tốc khi vật đến $D$ : ${{v}_{D}}=\omega {{A}_{2}}\sqrt{1-{{\left( \dfrac{\Delta {{l}_{0}}+OD}{{{A}_{2}}} \right)}^{2}}}=\left( 10\pi \right).\left( 6,265 \right).\sqrt{1-{{\left( \dfrac{4,5}{6,265} \right)}^{2}}}=136,940$ cm/s.
Giai đoạn 3: Chuyển động từ $D$ đến khi đổi chiều lần đầu tiên
olà dao động điều hòa quanh vị trí lò xo không biến dạng với biên độ
${{A}_{3}}=\sqrt{O{{D}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{v}_{D}}}{\omega } \right)}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( \dfrac{136,940}{10\pi } \right)}^{2}}}=5,916$. cm.
othời gian chuyển động
${{t}_{3}}=\dfrac{arc\cos \left( \dfrac{OD}{{{A}_{3}}} \right)}{{{360}^{0}}}T=\dfrac{arc\cos \left( \dfrac{4}{5,916} \right)}{{{360}^{0}}}.\left( 0,2 \right)=0,0264$ s.
→ Tốc độ trung bình
${{v}_{tb}}=\dfrac{S}{t}=\dfrac{OC+CD+\left( {{A}_{3}}-OD \right)}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+{{t}_{3}}}=\dfrac{3+1+\left( 5,916-4 \right)}{\dfrac{1}{60}+6,{{64.10}^{-3}}+0,0264}=119,018$ cm/s.
o $k=100$ N/m; $m=100$ g.
o $\omega =\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{100}{\left( {{100.10}^{-3}} \right)}}=10\pi $ rad/s → $T=0,2$ s.
Chuyển động của vật kể từ thời điểm ban đầu đến lúc nó đổi chiều chuyển động lần đầu tiên được chia thành các giai đoạn sau:
Giai đoạn 1: Chuyển động từ $O$ đến $C$
olà dao động điều hòa với biên độ ${{A}_{1}}=\dfrac{{{v}_{0}}}{\omega }=\dfrac{60\pi }{10\pi }=6$ cm.
othời gian chuyển động ${{t}_{1}}=\dfrac{T}{12}=\dfrac{0,2}{12}=\dfrac{1}{60}$ s.
ovận tốc khi vật đến $C$ : ${{v}_{C}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{v}_{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\left( 60\pi \right)=30\sqrt{3}\pi $ cm/s.
Giai đoạn 2: Chuyển động từ $C$ đến $D$
olà dao động điều hòa chịu thêm tác dụng của ma sát có độ lớn không đổi. Vị trí cân bằng mới lệch khỏi $O$ theo hướng lò xo bị nén một đoạn
$\Delta {{l}_{0}}=\dfrac{\mu mg}{k}=\dfrac{\left( 0,5 \right).\left( {{100.10}^{-3}} \right).\left( 10 \right)}{100}=0,5$ cm
→ ${{A}_{2}}=\sqrt{{{\left( \Delta {{l}_{0}}+OC \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{v}_{C}}}{\omega } \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 0,5+3 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{30\sqrt{3}\pi }{10\pi } \right)}^{2}}}=6,265$ cm.
othời gian chuyển động $\Delta {{t}_{2}}=\dfrac{\arccos \left( \dfrac{3,5}{6,265} \right)-\arccos \left( \dfrac{4,5}{6,265} \right)}{{{360}^{0}}}.\left( 0,2 \right)=6,{{64.10}^{-3}}$ s.
ovận tốc khi vật đến $D$ : ${{v}_{D}}=\omega {{A}_{2}}\sqrt{1-{{\left( \dfrac{\Delta {{l}_{0}}+OD}{{{A}_{2}}} \right)}^{2}}}=\left( 10\pi \right).\left( 6,265 \right).\sqrt{1-{{\left( \dfrac{4,5}{6,265} \right)}^{2}}}=136,940$ cm/s.
Giai đoạn 3: Chuyển động từ $D$ đến khi đổi chiều lần đầu tiên
olà dao động điều hòa quanh vị trí lò xo không biến dạng với biên độ
${{A}_{3}}=\sqrt{O{{D}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{v}_{D}}}{\omega } \right)}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( \dfrac{136,940}{10\pi } \right)}^{2}}}=5,916$. cm.
othời gian chuyển động
${{t}_{3}}=\dfrac{arc\cos \left( \dfrac{OD}{{{A}_{3}}} \right)}{{{360}^{0}}}T=\dfrac{arc\cos \left( \dfrac{4}{5,916} \right)}{{{360}^{0}}}.\left( 0,2 \right)=0,0264$ s.
→ Tốc độ trung bình
${{v}_{tb}}=\dfrac{S}{t}=\dfrac{OC+CD+\left( {{A}_{3}}-OD \right)}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+{{t}_{3}}}=\dfrac{3+1+\left( 5,916-4 \right)}{\dfrac{1}{60}+6,{{64.10}^{-3}}+0,0264}=119,018$ cm/s.
Đáp án D.