Google
Câu hỏi: Cho chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$, tam giác $SAC$ vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách $d$ giữa $SC$ và $AB$.
A. $d=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
B. $d=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
C. $d=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
D. $d=\dfrac{2a\sqrt{30}}{5}$.
Do $\left( SAC \right)\bot \left( ABCD \right),SH\bot AC$ ( $H$ là trung điểm của $AC$ ) thì $SH\bot \left( ABCD \right)$.
Kẻ $CD\parallel AB,\left( CD=AB \right)$, ta có $d\left( SC,AB \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=2d\left( H,\left( SCD \right) \right)$.
Kẻ $HE\bot DC$, mà $SH\bot DC\Rightarrow DC\bot \left( SHE \right)$, kẻ $HK\bot SE,HK\bot DC\left( DC\bot \left( SHE \right) \right)$ suy ra $HK\bot \left( SCD \right)$ hay $d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HK$.
Ta có tam giác $SAC$ vuông cân tại $S$ nên $SH=\dfrac{1}{2}AC=a$, $HE=HC.\sin 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Do đó $HK=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}a$ suy ra $d\left( SC,AB \right)=\dfrac{2\sqrt{21}}{7}a$.
A. $d=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
B. $d=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
C. $d=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
D. $d=\dfrac{2a\sqrt{30}}{5}$.
Kẻ $CD\parallel AB,\left( CD=AB \right)$, ta có $d\left( SC,AB \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=2d\left( H,\left( SCD \right) \right)$.
Kẻ $HE\bot DC$, mà $SH\bot DC\Rightarrow DC\bot \left( SHE \right)$, kẻ $HK\bot SE,HK\bot DC\left( DC\bot \left( SHE \right) \right)$ suy ra $HK\bot \left( SCD \right)$ hay $d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HK$.
Ta có tam giác $SAC$ vuông cân tại $S$ nên $SH=\dfrac{1}{2}AC=a$, $HE=HC.\sin 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Do đó $HK=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}a$ suy ra $d\left( SC,AB \right)=\dfrac{2\sqrt{21}}{7}a$.
Đáp án C.