Google
Câu hỏi: Cho Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy ${ABCD}$ là hình chữ nhật tâm ${O}$, ${AB=a, BC=a\sqrt{3}}$. Tam giác ${ASO}$ cân tại ${S}$, mặt phẳng ${\left( SAD \right)}$ vuông góc với mặt phẳng ${\left( ABCD \right)}$, góc giữa ${SD}$ và ${\left( ABCD \right)}$ bằng ${{{60}^{0}}}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${SB}$ và ${AC}$ bằng
A. ${\dfrac{a}{2}}$.
B. ${\dfrac{3a}{4}}$.
C. ${\dfrac{3a}{2}}$.
D. ${\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$.
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& \left( SAD \right)~\left( ABCD \right) \\
& \left( SAD \right)\cap \left( ABCD \right)=AD \\
& SH\bot AD \\
& H=SH\cap AD \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Lại có:
Ta có: AC= $\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}}$ = 2a. Suy ra AO = BO = AB = $\dfrac{AC}{2}$ = a.
Xét tam giác ABOđều:
Gọi I là trung điểm của AO nên BI $\bot $ AO $\Rightarrow $ B $\in $ (SHI) $\Rightarrow $ S, H, I thẳng hàng.
Nhận thấy AC $\bot $ SB .Gọi J là hình chiếu của Ilên SB.
Từ đó suy ra: $\Delta $ AIH đồng dạng với $\Delta $ ADC $\Rightarrow \dfrac{AI}{AD}=\dfrac{AH}{AC}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{AI.AC}{AD}=\dfrac{A{{C}^{2}}}{4AD}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác $\Delta $ SAD:DH = AD – AH = $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$, SH = DH.tan60°=2a.
HB = $\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$
Xét tam giác SHB. tan $\widehat{SBH}$ = $\dfrac{SH}{HB}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SBH}={{60}^{0}}$
Xét tam giác ABO cóBI = $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.Xét $\Delta $ BJI:IJ = BI. sin600 = $\dfrac{3a}{4}$
A. ${\dfrac{a}{2}}$.
B. ${\dfrac{3a}{4}}$.
C. ${\dfrac{3a}{2}}$.
D. ${\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$.
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& \left( SAD \right)~\left( ABCD \right) \\
& \left( SAD \right)\cap \left( ABCD \right)=AD \\
& SH\bot AD \\
& H=SH\cap AD \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Lại có:
Ta có: AC= $\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}}$ = 2a. Suy ra AO = BO = AB = $\dfrac{AC}{2}$ = a.
Xét tam giác ABOđều:
Gọi I là trung điểm của AO nên BI $\bot $ AO $\Rightarrow $ B $\in $ (SHI) $\Rightarrow $ S, H, I thẳng hàng.
Nhận thấy AC $\bot $ SB .Gọi J là hình chiếu của Ilên SB.
Từ đó suy ra: $\Delta $ AIH đồng dạng với $\Delta $ ADC $\Rightarrow \dfrac{AI}{AD}=\dfrac{AH}{AC}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{AI.AC}{AD}=\dfrac{A{{C}^{2}}}{4AD}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác $\Delta $ SAD:DH = AD – AH = $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$, SH = DH.tan60°=2a.
HB = $\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$
Xét tam giác SHB. tan $\widehat{SBH}$ = $\dfrac{SH}{HB}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SBH}={{60}^{0}}$
Xét tam giác ABO cóBI = $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.Xét $\Delta $ BJI:IJ = BI. sin600 = $\dfrac{3a}{4}$
Đáp án B.