Google
Câu hỏi: Cho chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc. Đổ đầy nước vào cốc rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng một phần ba lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính miệng cốc và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc).
A. $\sqrt{21}$
B. $\dfrac{5}{2}$
C. $\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}$
D. $\dfrac{21+\sqrt{5}}{2}$
A. $\sqrt{21}$
B. $\dfrac{5}{2}$
C. $\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}$
D. $\dfrac{21+\sqrt{5}}{2}$
Cách giải:
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CD,AB.~$
Gọi I là trung điểm của MN nên I là tâm của khối cầu.
Đặt $MC=r;NB=R,MN=h$. Kẻ $CH\bot AB(H\in AB).~$
Dễ dàng nhận thấy MNHC là hình chữ nhật nên $CH=MN=h$, $NH=MC=r.~$
$\Rightarrow HB=NB-NH=R-r.~$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BCH có:
$B{{C}^{2}}=C{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}\Leftrightarrow B{{C}^{2}}={{h}^{2}}+{{\left( R-r \right)}^{2}}\left( 1 \right)~$
Mặt khác, dựng $IP\bot BC\Rightarrow IP=\dfrac{h}{2}.$ Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
$MC=CP=r,NB=BP=R\Rightarrow BC=R+r.~$
Thay vào (1) ta có:
${{\left( R+r \right)}^{2}}={{h}^{2}}~+{{\left( R-r \right)}^{2}}$
⇔ ${{R}^{2}}+2Rr+{{r}^{2}}={{h}^{2}}+{{R}^{2}}-2~Rr+{{r}^{2}}$
$\Leftrightarrow 4Rr={{h}^{2}}$
Ta có:
Thể tích khối nón cụt là ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi h\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)$
Thể tích khối cầu là ${{V}_{2}}~=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{h}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{\pi }{6}{{h}^{3}}$
Theo bài ra ta có ${{V}_{1}}=3{{V}_{2}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{3}\pi h\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)=\dfrac{\pi }{2}{{h}^{3}}\Leftrightarrow 2\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)=3{{h}^{2}}$.
Thay ${{h}_{2}}=4Rr$ ta có: $2\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)=12Rr\Leftrightarrow {{R}^{2}}+{{r}^{2}}-5Rr=0.~$
Chia cả 2 vế cho ${{r}^{2}}$ ta được: ${{\left( \dfrac{R}{r} \right)}^{2}}+1-5\dfrac{R}{r}=0\Leftrightarrow \dfrac{R}{r}=\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}$
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CD,AB.~$
Gọi I là trung điểm của MN nên I là tâm của khối cầu.
Đặt $MC=r;NB=R,MN=h$. Kẻ $CH\bot AB(H\in AB).~$
Dễ dàng nhận thấy MNHC là hình chữ nhật nên $CH=MN=h$, $NH=MC=r.~$
$\Rightarrow HB=NB-NH=R-r.~$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BCH có:
$B{{C}^{2}}=C{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}\Leftrightarrow B{{C}^{2}}={{h}^{2}}+{{\left( R-r \right)}^{2}}\left( 1 \right)~$
Mặt khác, dựng $IP\bot BC\Rightarrow IP=\dfrac{h}{2}.$ Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
$MC=CP=r,NB=BP=R\Rightarrow BC=R+r.~$
Thay vào (1) ta có:
${{\left( R+r \right)}^{2}}={{h}^{2}}~+{{\left( R-r \right)}^{2}}$
⇔ ${{R}^{2}}+2Rr+{{r}^{2}}={{h}^{2}}+{{R}^{2}}-2~Rr+{{r}^{2}}$
$\Leftrightarrow 4Rr={{h}^{2}}$
Ta có:
Thể tích khối nón cụt là ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi h\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)$
Thể tích khối cầu là ${{V}_{2}}~=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{h}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{\pi }{6}{{h}^{3}}$
Theo bài ra ta có ${{V}_{1}}=3{{V}_{2}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{3}\pi h\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)=\dfrac{\pi }{2}{{h}^{3}}\Leftrightarrow 2\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)=3{{h}^{2}}$.
Thay ${{h}_{2}}=4Rr$ ta có: $2\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)=12Rr\Leftrightarrow {{R}^{2}}+{{r}^{2}}-5Rr=0.~$
Chia cả 2 vế cho ${{r}^{2}}$ ta được: ${{\left( \dfrac{R}{r} \right)}^{2}}+1-5\dfrac{R}{r}=0\Leftrightarrow \dfrac{R}{r}=\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}$
Đáp án C.