Google
Câu hỏi: Cho các số thực $x,y$ với $x\ge 0$ thỏa mãn ${{e}^{x+3y}}+{{e}^{xy+1}}+x\left( y+1 \right)+1={{e}^{-xy-1}}+\dfrac{1}{{{e}^{x+3y}}}-3y.$ Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=x+2y+1.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $m\in \left( 2;3 \right).$
B. $m\in \left( -1;0 \right).$
C. $m\in \left( 0;1 \right).$
D. $m\in \left( 1;2 \right).$
A. $m\in \left( 2;3 \right).$
B. $m\in \left( -1;0 \right).$
C. $m\in \left( 0;1 \right).$
D. $m\in \left( 1;2 \right).$
+ Ta có ${{e}^{x+3y}}+{{e}^{xy+1}}+x\left( y+1 \right)+1={{e}^{-xy-1}}+\dfrac{1}{{{e}^{x+3y}}}-3y\Leftrightarrow {{e}^{x+3y}}-\dfrac{1}{{{e}^{x+3y}}}+x+3y={{e}^{-xy-1}}-\dfrac{1}{{{e}^{-xy-1}}}+\left( -xy-1 \right)\left( * \right).$
+ Đặt $f\left( t \right)={{e}^{t}}-\dfrac{1}{{{e}^{t}}}+t\Rightarrow f'\left( t \right)={{e}^{t}}+\dfrac{1}{{{e}^{t}}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}.$ Nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x+3y \right)=f\left( -xy-1 \right).$ Do đó $x+3y=-xy-1\Leftrightarrow y=-\dfrac{x+1}{x+3}\Rightarrow T=x+1-\dfrac{2x+2}{x+3}=g\left( x \right)$
$g'\left( t \right)=1-\dfrac{4}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}\ge 0,\forall x\ge 0$ nên $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right).$ Suy ra $MinT=\underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{Min}} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=\dfrac{1}{3}.$
+ Đặt $f\left( t \right)={{e}^{t}}-\dfrac{1}{{{e}^{t}}}+t\Rightarrow f'\left( t \right)={{e}^{t}}+\dfrac{1}{{{e}^{t}}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}.$ Nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x+3y \right)=f\left( -xy-1 \right).$ Do đó $x+3y=-xy-1\Leftrightarrow y=-\dfrac{x+1}{x+3}\Rightarrow T=x+1-\dfrac{2x+2}{x+3}=g\left( x \right)$
$g'\left( t \right)=1-\dfrac{4}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}\ge 0,\forall x\ge 0$ nên $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right).$ Suy ra $MinT=\underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{Min}} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=\dfrac{1}{3}.$
Đáp án C.