Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn...

Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ $t=2^{x^2+4y^2}(t\ge 1)$, đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tìm t.
- Tìm mối quan hệ giữa $x,y$ dạng ${\left(ax\right)}^2+{\left(by\right)}^2=1$.
- Đặt $\{\begin{array}{l}ax=\sin \alpha \\ by=\cos \alpha \end{array}$, thế vào biểu thức P.
- Quy đồng, đưa biểu thức về dạng $A\sin \alpha +B\cos \alpha =C$. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó xác định $M,m$.
Giải chi tiết:
Ta có:
$4^{x^2+4y^2}-2^{x^2+4y^2+1}=2^{3-x^2-4y^2}-4^{2-x^2-4y^2}$
$\iff {\left(2^{x^2+4y^2}\right)}^2-{2.2}^{x^2+4y^2}={\displaystyle \frac{8}{2^{x^2+4y^2}}}-{\displaystyle \frac{16}{{\left(2^{x^2+4y^2}\right)}^2}}$
Đặt $t=2^{x^2+4y^2}(t\ge 1)$, phương trình trở thành:
$t^2-2t={\displaystyle \frac{8}{t}}-{\displaystyle \frac{16}{t^2}}$ $\iff t^2-2t={\displaystyle \frac{8t-16}{t^2}}$
$\Rightarrow t^3(t-2)=8(t-2)$
$\Rightarrow (t^3-8)(t-2)=0$
$\iff {(t-2)}^2(t^2+2t+4)=0$ $\iff t=2\left(tm\right)(do{t}^2+2t+4>0\mathrm{\forall }t)$
Với $2^{x^2+4y^2}=2\iff x^2+4y^2=1$. Khi đó tồn tại $\alpha$ sao cho $\{\begin{array}{l}x=\sin \alpha \\ 2y=\cos \alpha \end{array}$.
Ta có:
$P={\displaystyle \frac{x-2y-1}{x+y+4}}={\displaystyle \frac{\sin \alpha -\cos \alpha -1}{\sin \alpha +{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \alpha +4}}$
$\iff P\sin \alpha +{\displaystyle \frac{1}{2}}P\cos \alpha +4P=\sin \alpha -\cos \alpha -1$
$\iff (P-1)\sin \alpha +({\displaystyle \frac{1}{2}}P+1)\cos \alpha =-1-4P(\ast )$
Để P tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm
$\Rightarrow {(P-1)}^2+{({\displaystyle \frac{1}{2}}P+1)}^2\ge {(-1-4P)}^2$
$\iff P^2-2P+1+{\displaystyle \frac{1}{4}}{P}^2+P+1\ge 16P^2+8P+1$
$\iff {\displaystyle \frac{59}{4}}{P}^2+9P-1\le 0$ $\iff {\displaystyle \frac{-18-4\sqrt{35}}{59}}\le P\le {\displaystyle \frac{-18+4\sqrt{35}}{59}}$
$\Rightarrow \{\begin{array}{l}M={\displaystyle \frac{-18+4\sqrt{35}}{59}}\\ m={\displaystyle \frac{-18-4\sqrt{35}}{59}}\end{array}\Rightarrow M+m=-{\displaystyle \frac{36}{59}}$