Câu hỏi: Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn ${{4}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}}-{{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+1}}={{2}^{3-{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}}}-{{4}^{2-{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}}}$. Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=\dfrac{x-2y+1}{x+y+4}$. Tổng $M+m$ bằng:
A. $\dfrac{7}{17}$
B. $\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{1}{7}$
A. $\dfrac{7}{17}$
B. $\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{1}{7}$
Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ $t={{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}}\left( t\ge 1 \right)$, đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tìm t.
- Tìm mối quan hệ giữa $x,y$ dạng ${{\left( ax \right)}^{2}}+{{\left( by \right)}^{2}}=1$.
- Đặt $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
ax=\sin \alpha \\
by=\cos \alpha \\
\end{array} \right.$, thế vào biểu thức P.
- Quy đồng, đưa biểu thức về dạng $A\sin \alpha +B\cos \alpha =C$. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó xác định $M,m$.
Giải chi tiết:
Ta có:
${{4}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}}-{{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+1}}={{2}^{3-{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}}}-{{4}^{2-{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}} \right)}^{2}}-{{2.2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}}=\dfrac{8}{{{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}}}-\dfrac{16}{{{\left( {{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}} \right)}^{2}}}$
Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}}\left( t\ge 1 \right)$, phương trình trở thành:
${{t}^{2}}-2t=\dfrac{8}{t}-\dfrac{16}{{{t}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t=\dfrac{8t-16}{{{t}^{2}}}$
$\Rightarrow {{t}^{3}}\left( t-2 \right)=8\left( t-2 \right)$
$\Rightarrow \left( {{t}^{3}}-8 \right)\left( t-2 \right)=0$
$\Leftrightarrow {{\left( t-2 \right)}^{2}}\left( {{t}^{2}}+2t+4 \right)=0$ $\Leftrightarrow t=2\left( tm \right)\left( do{{t}^{2}}+2t+4>0\forall t \right)$
Với ${{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}}=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=1$. Khi đó tồn tại $\alpha $ sao cho $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=\sin \alpha \\
2y=\cos \alpha \\
\end{array} \right.$.
Ta có:
$P=\dfrac{x-2y-1}{x+y+4}=\dfrac{\sin \alpha -\cos \alpha -1}{\sin \alpha +\dfrac{1}{2}\cos \alpha +4}$
$\Leftrightarrow P\sin \alpha +\dfrac{1}{2}P\cos \alpha +4P=\sin \alpha -\cos \alpha -1$
$\Leftrightarrow \left( P-1 \right)\sin \alpha +\left( \dfrac{1}{2}P+1 \right)\cos \alpha =-1-4P\left( * \right)$
Để P tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm
$\Rightarrow {{\left( P-1 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2}P+1 \right)}^{2}}\ge {{\left( -1-4P \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{P}^{2}}-2P+1+\dfrac{1}{4}{{P}^{2}}+P+1\ge 16{{P}^{2}}+8P+1$
$\Leftrightarrow \dfrac{59}{4}{{P}^{2}}+9P-1\le 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{-18-4\sqrt{35}}{59}\le P\le \dfrac{-18+4\sqrt{35}}{59}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
M=\dfrac{-18+4\sqrt{35}}{59} \\
m=\dfrac{-18-4\sqrt{35}}{59} \\
\end{array} \right.\Rightarrow M+m=-\dfrac{36}{59}$
- Đặt ẩn phụ $t={{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}}\left( t\ge 1 \right)$, đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tìm t.
- Tìm mối quan hệ giữa $x,y$ dạng ${{\left( ax \right)}^{2}}+{{\left( by \right)}^{2}}=1$.
- Đặt $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
ax=\sin \alpha \\
by=\cos \alpha \\
\end{array} \right.$, thế vào biểu thức P.
- Quy đồng, đưa biểu thức về dạng $A\sin \alpha +B\cos \alpha =C$. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó xác định $M,m$.
Giải chi tiết:
Ta có:
${{4}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}}-{{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+1}}={{2}^{3-{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}}}-{{4}^{2-{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}} \right)}^{2}}-{{2.2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}}=\dfrac{8}{{{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}}}-\dfrac{16}{{{\left( {{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}} \right)}^{2}}}$
Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}}\left( t\ge 1 \right)$, phương trình trở thành:
${{t}^{2}}-2t=\dfrac{8}{t}-\dfrac{16}{{{t}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t=\dfrac{8t-16}{{{t}^{2}}}$
$\Rightarrow {{t}^{3}}\left( t-2 \right)=8\left( t-2 \right)$
$\Rightarrow \left( {{t}^{3}}-8 \right)\left( t-2 \right)=0$
$\Leftrightarrow {{\left( t-2 \right)}^{2}}\left( {{t}^{2}}+2t+4 \right)=0$ $\Leftrightarrow t=2\left( tm \right)\left( do{{t}^{2}}+2t+4>0\forall t \right)$
Với ${{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}}=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=1$. Khi đó tồn tại $\alpha $ sao cho $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=\sin \alpha \\
2y=\cos \alpha \\
\end{array} \right.$.
Ta có:
$P=\dfrac{x-2y-1}{x+y+4}=\dfrac{\sin \alpha -\cos \alpha -1}{\sin \alpha +\dfrac{1}{2}\cos \alpha +4}$
$\Leftrightarrow P\sin \alpha +\dfrac{1}{2}P\cos \alpha +4P=\sin \alpha -\cos \alpha -1$
$\Leftrightarrow \left( P-1 \right)\sin \alpha +\left( \dfrac{1}{2}P+1 \right)\cos \alpha =-1-4P\left( * \right)$
Để P tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm
$\Rightarrow {{\left( P-1 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2}P+1 \right)}^{2}}\ge {{\left( -1-4P \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{P}^{2}}-2P+1+\dfrac{1}{4}{{P}^{2}}+P+1\ge 16{{P}^{2}}+8P+1$
$\Leftrightarrow \dfrac{59}{4}{{P}^{2}}+9P-1\le 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{-18-4\sqrt{35}}{59}\le P\le \dfrac{-18+4\sqrt{35}}{59}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
M=\dfrac{-18+4\sqrt{35}}{59} \\
m=\dfrac{-18-4\sqrt{35}}{59} \\
\end{array} \right.\Rightarrow M+m=-\dfrac{36}{59}$
Đáp án A.