Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $\ln y\ge \ln \left( {{x}^{3}}+2...

Có: $\ln y\ge \ln \left( {{x}^{3}}+2 \right)-\ln 3\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}^{3}}+2>0 \\
3y\ge {{x}^{3}}+2 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x>-\sqrt[3]{2} \\
4y\ge {{x}^{3}}+2+y \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x>-\sqrt[3]{2} \\
4y-{{x}^{3}}-x-2\ge y-x \\
\end{matrix} \right.$.
Ta có: $H={{e}^{4y-{{x}^{3}}-x-2}}-\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}+x\left( y+1 \right)-y={{e}^{4y-{{x}^{3}}-x-2}}-\dfrac{{{\left( y-x \right)}^{2}}+2xy}{2}+xy-\left( y-x \right)$.
$H\ge {{e}^{y-x}}-\dfrac{{{\left( y-x \right)}^{2}}}{2}-\left( y-x \right)$.
Đặt $t=y-x$, ta có
$t\ge \dfrac{{{x}^{3}}+2}{3}-x=\dfrac{{{x}^{3}}-3x+2}{3}=\dfrac{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}{3}=\dfrac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)}{3}\ge 0$ $\forall x>-\sqrt[3]{2}$
Khi đó $H\ge {{e}^{t}}-\dfrac{{{t}^{2}}}{2}-t$.
Xét $T\left( t \right)={{e}^{t}}-t-\dfrac{1}{2}{{t}^{2}}$ với $t\ge 0$
Có : ${T}'\left( t \right)={{e}^{t}}-t-1$ ; ${T}''\left( t \right)={{e}^{t}}-1$,
Ta thấy ${T}''\left( t \right)={{e}^{t}}-1\ge 0 \forall t\in \left[ 0;+\infty \right)$ ; ${T}''\left( t \right)=0 \Leftrightarrow t=0$
$\Rightarrow {T}'\left( t \right)$ đồng biến trên nửa khoảng $\left[ 0;+\infty \right)$
$\Rightarrow {T}'\left( t \right)\ge {T}'\left( 0 \right)$ $\forall t\in \left[ 0;+\infty \right)$
$\Rightarrow {T}'\left( t \right)\ge 0$ $\forall t\in \left[ 0;+\infty \right)$ ; $T'\left( t \right)=0 \Leftrightarrow t=0$
$\Rightarrow T\left( t \right)$ đồng biến trên nửa khoảng $\left[ 0;+\infty \right)$
$\Rightarrow \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{MinT=}} T\left( 0 \right)=1\Rightarrow H\ge 1$ ; dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$
$\Rightarrow $ Giá trị nhỏ nhất của $H$ là $1$.