Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $\ln y\ge \ln \left( {{x}^{3}}+2 \right)-\ln 3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức...

Điều kiện: $y>0,x>-\sqrt[3]{2}$
Từ giả thiết ta có: $\ln y+\ln 3\ge \ln \left( {{x}^{3}}+2 \right)\Leftrightarrow \ln 3y\ge \ln \left( {{x}^{3}}+2 \right)\Leftrightarrow 3y\ge {{x}^{3}}+2\Leftrightarrow 3\left( y-x \right)\ge {{x}^{3}}-3x+2$
Xét hàm số $h\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+2$ trên $\left( -\sqrt[3]{2};+\infty \right).$
Ta có: $h'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3,h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right..$
$h\left( -1 \right)=4,h\left( 1 \right)=0,h\left( -\sqrt[3]{2} \right)=3\sqrt[3]{2}>0.$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: $\underset{\left( -\sqrt[3]{2};+\infty \right)}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=0.$ Suy ra: $3\left( y-x \right)\ge 0\Leftrightarrow y-x\ge 0.$
Ta có:
$H={{e}^{4y-{{x}^{3}}-x-2}}-\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}+x\left( y+1 \right)-y={{e}^{y-x+3y-\left( {{x}^{3}}+2 \right)}}-\dfrac{{{\left( y-x \right)}^{2}}}{2}-\left( y-x \right)\ge {{e}^{y-x}}-\dfrac{{{\left( y-x \right)}^{2}}}{2}-\left( y-x \right).$
Xét hàm số $g\left( t \right)={{e}^{t}}-\dfrac{1}{2}{{t}^{2}}-t$ trên $\left[ 0;+\infty \right).$
Ta có: $g'\left( t \right)={{e}^{t}}-t-1,g''\left( t \right)={{e}^{t}}-1.$
Ta có: $\forall t\ge 0\Rightarrow g''\left( t \right)={{e}^{t}}-1\ge {{e}^{0}}-1=0,$ suy ra hàm số $g'\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right).$
Suy ra: $\forall t\ge 0:g'\left( t \right)\ge g'\left( 0 \right)=0,$ suy ra hàm số $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right).$
Vậy $\underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( 0 \right)=1,$ Suy ra: ${{H}_{\min }}=1.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{aligned}
& x=y \\
& 3y={{x}^{3}}+2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=y=1.$