Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $\ln y\ge \ln (x^3+2)-\ln 3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức...

Điều kiện: $y>0,x>-\sqrt[3]{2}$
Từ giả thiết ta có: $\ln y+\ln 3\ge \ln (x^3+2)\iff \ln 3y\ge \ln (x^3+2)\iff 3y\ge x^3+2\iff 3(y-x)\ge x^3-3x+2$
Xét hàm số $h\left(x\right)=x^3-3x+2$ trên $(-\sqrt[3]{2};+\mathrm{\infty }).$
Ta có: $h^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3,h^{\prime }\left(x\right)=0\iff 3x^2-3=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-1\\ & x=1\end{array}.$
$h(-1)=4,h\left(1\right)=0,h(-\sqrt[3]{2})=3\sqrt[3]{2}>0.$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: $\underset{(-\sqrt[3]{2};+\mathrm{\infty })}{min}h\left(x\right)=0.$ Suy ra: $3(y-x)\ge 0\iff y-x\ge 0.$
Ta có:
$H=e^{4y-x^3-x-2}-{\displaystyle \frac{x^2+y^2}{2}}+x(y+1)-y=e^{y-x+3y-(x^3+2)}-{\displaystyle \frac{{(y-x)}^2}{2}}-(y-x)\ge e^{y-x}-{\displaystyle \frac{{(y-x)}^2}{2}}-(y-x).$
Xét hàm số $g\left(t\right)=e^t-{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2-t$ trên $[0;+\mathrm{\infty }).$
Ta có: $g^{\prime }\left(t\right)=e^t-t-1,g^{″}\left(t\right)=e^t-1.$
Ta có: $\mathrm{\forall }t\ge 0\Rightarrow g^{″}\left(t\right)=e^t-1\ge e^0-1=0,$ suy ra hàm số $g^{\prime }\left(t\right)$ đồng biến trên $[0;+\mathrm{\infty }).$
Suy ra: $\mathrm{\forall }t\ge 0:g^{\prime }\left(t\right)\ge g^{\prime }\left(0\right)=0,$ suy ra hàm số $g\left(t\right)$ đồng biến trên $[0;+\mathrm{\infty }).$
Vậy $\underset{[0;+\mathrm{\infty })}{min}g\left(t\right)=g\left(0\right)=1,$ Suy ra: $H_{min}=1.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $\{\begin{array}{rl}& x=y\\ & 3y=x^3+2\end{array}\iff x=y=1.$