Google
Câu hỏi: Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn ${{2021}^{{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2{{x}^{2}}}-\dfrac{3}{2}}}={{\log }_{\sqrt[2021]{2020}}}\left[ 2004-\left( y-11 \right)\sqrt{y+1} \right]$ với $x>0$ và $y\ge -1.$ Giá trị của biểu thức $P=2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy+6$ bằng
A. 14.
B. 11.
C. 10.
D. 12.
A. 14.
B. 11.
C. 10.
D. 12.
${{2021}^{{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2{{x}^{2}}}-\dfrac{3}{2}}}={{\log }_{\sqrt[2021]{2020}}}\left[ 2004-\left( y-11 \right)\sqrt{y+1} \right]$
$\Leftrightarrow {{2021}^{{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2{{x}^{2}}}-\dfrac{3}{2}}}=2021{{\log }_{2020}}\left[ 2004-\left( y-11 \right)\sqrt{y+1} \right]$
Ta có: ${{x}^{3}}+\dfrac{3}{2{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{3}}}{2}+\dfrac{{{x}^{3}}}{2}+\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}\overset{cauchy}{\mathop{\ge }} \dfrac{5}{2},\forall x>0\Rightarrow VT\ge {{2021}^{\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2}}}=2021\left( 1 \right)$
Ta có: $2004-\left( y-11 \right)\sqrt{y+1}=2004-{{\left( \sqrt{y+1} \right)}^{3}}+12\sqrt{y+1}$
Đặt $t=\sqrt{y+1}\Rightarrow t\ge 0.$
$f\left( t \right)=2004-{{t}^{3}}+12t$
$\Rightarrow f'\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+12$
$f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\pm 2.$
Dựa vào BBT, ta có $f\left( t \right)\le 2020,$ dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow t=2.$
$\Rightarrow VP\le 2021.{{\log }_{2020}}2020=2021.1=2021\text{ }\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\Rightarrow $ Dấu "=" xảy ra đồng thời ở $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{x}^{3}}}{2}=\dfrac{1}{2{{x}^{2}}} \\
& \sqrt{y+1}=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P=11.$
$\Leftrightarrow {{2021}^{{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2{{x}^{2}}}-\dfrac{3}{2}}}=2021{{\log }_{2020}}\left[ 2004-\left( y-11 \right)\sqrt{y+1} \right]$
Ta có: ${{x}^{3}}+\dfrac{3}{2{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{3}}}{2}+\dfrac{{{x}^{3}}}{2}+\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}\overset{cauchy}{\mathop{\ge }} \dfrac{5}{2},\forall x>0\Rightarrow VT\ge {{2021}^{\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2}}}=2021\left( 1 \right)$
Ta có: $2004-\left( y-11 \right)\sqrt{y+1}=2004-{{\left( \sqrt{y+1} \right)}^{3}}+12\sqrt{y+1}$
Đặt $t=\sqrt{y+1}\Rightarrow t\ge 0.$
$f\left( t \right)=2004-{{t}^{3}}+12t$
$\Rightarrow f'\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+12$
$f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\pm 2.$
Dựa vào BBT, ta có $f\left( t \right)\le 2020,$ dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow t=2.$
$\Rightarrow VP\le 2021.{{\log }_{2020}}2020=2021.1=2021\text{ }\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\Rightarrow $ Dấu "=" xảy ra đồng thời ở $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{x}^{3}}}{2}=\dfrac{1}{2{{x}^{2}}} \\
& \sqrt{y+1}=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P=11.$
Đáp án B.