Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn ${{2021}^{{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2{{x}^{2}}}-\dfrac{3}{2}}}={{\log }_{\sqrt[2021]{2020}}}\left[ 2004-\left( y-11...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho các số thực

x, y

thỏa mãn

2021^{x^{3} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{3}{2}} = \log_{\sqrt[2021]{2020}} [2004 - (y - 11) \sqrt{y + 1}]

với

x > 0

và

y \geq - 1.

Giá trị của biểu thức

P = 2 x^{2} + y^{2} - 2 x y + 6

bằng
A. 14.
B. 11.
C. 10.
D. 12.

2021^{x^{3} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{3}{2}} = \log_{\sqrt[2021]{2020}} [2004 - (y - 11) \sqrt{y + 1}]

\Leftrightarrow 2021^{x^{3} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{3}{2}} = 2021 \log_{2020} [2004 - (y - 11) \sqrt{y + 1}]

Ta có:

x^{3} + \frac{3}{2 x^{2}} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} \overset{c a u c h y}{\geq} \frac{5}{2}, \forall x > 0 \Rightarrow V T \geq 2021^{\frac{5}{2} - \frac{3}{2}} = 2021 (1)

Ta có:

2004 - (y - 11) \sqrt{y + 1} = 2004 - {(\sqrt{y + 1})}^{3} + 12 \sqrt{y + 1}

Đặt

t = \sqrt{y + 1} \Rightarrow t \geq 0.

f (t) = 2004 - t^{3} + 12 t

\Rightarrow f^{'} (t) = - 3 t^{2} + 12

f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = \pm 2.

Dựa vào BBT, ta có

f (t) \leq 2020,

dấu "=" xảy ra

\Leftrightarrow t = 2.

\Rightarrow V P \leq 2021. \log_{2020} 2020 = 2021.1 = 2021 (2)

Từ

(1)

và

(2) \Rightarrow

Dấu "=" xảy ra đồng thời ở

(1)

và

(2)

\Leftrightarrow {\begin{aligned} \frac{x^{3}}{2} = \frac{1}{2 x^{2}} \\ \sqrt{y + 1} = 2 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x = 1 \\ y = 3 \end{aligned} \Rightarrow P = 11.

Đáp án B.

Cho các số thực x,y thỏa mãn ${{2021}^{{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2{{x}^{2}}}-\dfrac{3}{2}}}={{\log }_{\sqrt[2021]{2020}}}\left[ 2004-\left( y-11...