Cho các số thực $x,y$ thay đổi và thỏa mãn điều kiện $\dfrac{2+\sqrt{9{{y}^{2}}+3}}{1+\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}+\dfrac{4x-2}{3y}=0.$ Giá trị nhỏ nhất...

ĐK: $y\ne 0.$
Phương trình $\Leftrightarrow 6y+3y\sqrt{9{{y}^{2}}+3}=\left( 2-4x \right)+\left( 2-4x \right)\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$
$\Leftrightarrow 6y+3y\sqrt{9{{y}^{2}}+3}=2\left( 1-2x \right)+\left( 1-2x \right)\sqrt{4{{y}^{2}}-4y+4}$
$\Leftrightarrow 2.3y+3y\sqrt{{{\left( 3y \right)}^{2}}+3}=2\left( 1-2x \right)+\left( 1-2x \right)\sqrt{{{\left( 1-2x \right)}^{3}}+3}$
$\Leftrightarrow f\left( 3y \right)=f\left( 1-2x \right)\left( 1 \right)$ với $f\left( t \right)=2t+t\sqrt{{{t}^{2}}+3},\forall t\in \mathbb{R}.$
Có $f'\left( t \right)=2+\sqrt{{{t}^{2}}+3}+\dfrac{{{t}^{2}}}{\sqrt{{{t}^{2}}+3}}>0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 3y=1-2x.$ Suy ra $P=1-2x+{{x}^{2}}-\sqrt{2}={{\left( x-1 \right)}^{2}}-\sqrt{2}\ge -\sqrt{2}.$
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=-\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.. $ Vậy $ \min P=-\sqrt{2}.$ Chọn C.