Google
Câu hỏi: Cho các số thực $x,y$ dương và thỏa mãn ${{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{3xy+{{x}^{2}}}+{{2}^{{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+1 \right)}}\le {{\log }_{2}}{{8}^{xy}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{2{{x}^{2}}-xy+2{{y}^{2}}}{2xy-{{y}^{2}}}$.
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{5}{2}$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{5}{2}$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
${{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{3xy+{{x}^{2}}}+{{2}^{{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+1 \right)}}\le {{\log }_{2}}{{8}^{xy}}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{3xy+{{x}^{2}}}+{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+1\le 3xy$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)+2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\le 3xy+{{x}^{2}}+{{\log }_{2}}\left( 3xy+{{x}^{2}} \right)\left( 1 \right)$
Nhận thấy hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$, nên $\left( 1 \right)$ tương đương với
$2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\le 3xy+{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3xy+2{{y}^{2}}\le 0\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}-3\left( \dfrac{x}{y} \right)+2\le 0$ $\Leftrightarrow 1\le \dfrac{x}{y}\le 2$.
Đặt $t=\dfrac{x}{y}\Rightarrow t\in \left[ 1 ; 2 \right]$, khi đó: $P=g\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{2}}-t+2}{2t-1}=t+\dfrac{2}{2t-1}, t\in \left[ 1 ; 2 \right]$.
${g}'\left( t \right)=1-\dfrac{4}{{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}}$. Suy ra ${g}'\left( t \right)=0\Rightarrow t=\dfrac{3}{2}\in \left[ 1 ; 2 \right]$.
Lại có $g\left( 1 \right)=3$, $g\left( 2 \right)=\dfrac{8}{3}$, $g\left( \dfrac{3}{2} \right)=\dfrac{5}{2}$.
Vậy $\min P=\dfrac{5}{2}$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)+2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\le 3xy+{{x}^{2}}+{{\log }_{2}}\left( 3xy+{{x}^{2}} \right)\left( 1 \right)$
Nhận thấy hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$, nên $\left( 1 \right)$ tương đương với
$2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\le 3xy+{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3xy+2{{y}^{2}}\le 0\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}-3\left( \dfrac{x}{y} \right)+2\le 0$ $\Leftrightarrow 1\le \dfrac{x}{y}\le 2$.
Đặt $t=\dfrac{x}{y}\Rightarrow t\in \left[ 1 ; 2 \right]$, khi đó: $P=g\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{2}}-t+2}{2t-1}=t+\dfrac{2}{2t-1}, t\in \left[ 1 ; 2 \right]$.
${g}'\left( t \right)=1-\dfrac{4}{{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}}$. Suy ra ${g}'\left( t \right)=0\Rightarrow t=\dfrac{3}{2}\in \left[ 1 ; 2 \right]$.
Lại có $g\left( 1 \right)=3$, $g\left( 2 \right)=\dfrac{8}{3}$, $g\left( \dfrac{3}{2} \right)=\dfrac{5}{2}$.
Vậy $\min P=\dfrac{5}{2}$.
Đáp án B.